Dann giltAist positiv definit genau dann wenn Rang(H) =n

Einf ¨uhrung in die Numerik ( Wintersemester 2015/16 ) Aufgabenblatt 4

Prof. Dr. Peter Bastian, Dominic Kempf Abgabe 20. November 2015

IWR, Universit¨at Heidelberg

Ubung 1¨ Positiv definite Matrizen

Sehr h¨aufig wird im Zusammenhang mit positiv-definiten Matrizen die Symmetrie vorausge- setzt. Doch positiv-definite Matrizen m ¨ussen nicht zwangsl¨aufig symmetrisch sein!

a) Zeigen Sie, dassA∈R^n×ngenau dann positiv definit ist, wenn der symmetrische Anteil AS = 1

2 A+A^T positiv definit ist.

b) SeiA∈R^n×n,X ⊆ {1,2, ..., n}undA_X = (a_ij)i,j∈X ∈R^|X|×|X|eine sogenannteHauptunterma- trix. Zeigen Sie, dassA_X ist positiv definit, wennApositiv definit ist.

c) Gegeben istA∈R^2×2mit

A=

2 1

−(1 +α) 2

.

F ¨ur welche Werte vonαistApositiv definit?

d) Zeigen Sie: SeiH∈C^m×nmitm≥nundA= ¯H^TH. Dann giltAist positiv definit genau dann wenn Rang(H) =n.

( 4 Punkte ) Ubung 2¨ Hermitesche Matrix inC

Beweisen Sie:

F ¨urA∈C^n×ngilt:Aist hermitesch genau dann wenn(Ax, x)2∈R∀x∈Cⁿ\ {0}.

( 2 Punkte ) Ubung 3¨ Raleigh-Quotienten

Sei A ∈ K^n×n eine positive definite Matrix. F ¨ur K = R sei A ferner symmetrisch. Der Raleigh- Quotient eines Vektorsx∈Kⁿist definiert als

RA(x) = (Ax, x)2

(x, x)2

.

a) Zeigen Sie folgende Beziehungen zwischen den Raleigh-Quotienten und dem gr ¨oßten bzw.

kleinsten Eigenwert vonA:

sup

x∈Kⁿ\{0}

R_A(x) =λ_max(A) = max{λ|λist Eigenwert von A}

x∈Kinfⁿ\{0}R_A(x) =λ_min(A) = min{λ|λist Eigenwert von A}. b) Die Kondition einer MatrixAin der euklidschen Norm ist definiert als

cond2(A) =kAk₂kA⁻¹k₂.

Zeigen Sie dass sich die Kondition der Matrix in folgender Weise durch den gr ¨oßten und klein- sten Eigenwert vonAbeschreiben l¨asst:

cond2(A) =kAk₂kA⁻¹k₂ = λmax(A) λmin(A)

( 4 Punkte ) Ubung 4¨ Str¨omung in Rohrleitungsnetzwerken (Praktische ¨Ubung)

Auf dem ¨Ubungsblatt 3, ¨Ubung 4 sollten Sie ein lineares Gleichungssystem f ¨ur beliebige Anzahl von KnotenN aufstellen. In dieser Aufgabe wird weiter daran gearbeitet.

a) Implementieren Sie ein Programm, das das Gleichungssystem f ¨ur beliebigesN ≥ 3 aufstellt und am Bildschirm ausgibt. Verwenden Sie hierzu die Matrix und Vektor Klassen derHDNum Bibliothek, die in der Vorlesung vorgestellt wurde.

b) Welche Normen sind in der Klasse DenseMatrix schon definiert? Implementieren Sie eine Methode, die auch die Frobenius-Norm berechnet. Berechen Sie alle Normen f ¨ur das lineare Gleichungssystem aus a) f ¨urN = 10.

c) Die Potenzmethode ist ein iteratives numerisches Verfahren zur Berechnung des betragsgr ¨oßten Eigenwertes und des dazugeh ¨origen Eigenvektors einer Matrix.

SeiA∈R^n×nund ein Startvektorr0 ∈Rⁿ, Ar06= 0gegeben. In jedem Iterationsschritt berechnet man

r_k+1 = Ar_k kAr_kk,

d.h. die aktuelle N¨aherungrkwird auf die MatrixAangewandt und dann normiert. Die Vek- torenr_k konvergieren gegen einen Eigenvektor zum betragsgr ¨oßten Eigenwert, sofern dieser Eigenwert dem Betrage nach einfach ist und seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geo- metrischen Vielfachheit ist. Der Rayleigh-Quotient liefert im Grenzwert den entsprechenden Eigenwert.

Implementieren Sie dieses Verfahren, welches den gr ¨oßten Eigenwert und dazu entsprechen- den Eigenvektor berechnet. Wenden Sie es auf das Gleichungssystem aus a) f ¨urN = 10.

Hinweise:

• Es wird die NumerikbibliothekHDNUMben ¨otigt. Download ¨uber die Webseite der Vorlesung:

http://conan.iwr.uni-heidelberg.de/teaching/numerik0_Ws2015/

• Kompilieren:

g++ -I../hdnum/ -o knotenfluss knotenfluss.cc

Dieser Kompilierbefehl funktioniert, wennknotenfluss.ccz.B. in einem VerzeichnisBlatt4/

parallel zum Verzeichnishdnum/liegt.

• Bitte denC++ Style Guidebeachten!

• Sie k ¨onnen das auf der Vorlesungshomepage zur Verf ¨ugung gestellte Programmger ¨ust verwen- den.

( 10 Punkte )