10.3 Finden Sie die reelle Matrix M = a b c d , von der bekannt ist, dass sie den Eigenwert λ1 = 4 mit dem Eigenvektor x(1

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit 4. Dezember 2017

H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)

10. ¨Ubung : Eigenwerte II

10.1 Finden Sie von folgenden symmetrischen Matrizen jeweils die Eigenwerte und zu jedem Eigenwert eine Orthonormalbasis des zugeh¨origen Eigenunterraums.

H =





5 1 0

1 5 0

0 0 −8



, K =





1 2 3

2 −4 −2 3 −2 1



,

L =





1 1 3 1 5 1 3 1 1



, N =





2 −1 2

−1 2 −2 2 −2 5





10.2 Der Eigenunterraum V zu einem dreifachen Eigenwert einer 4×4 - Matrix hat die Basisvektoren

b⁽¹⁾ = (−3 1 1 1)^⊤, b⁽²⁾ = (1 −3 1 1)^⊤, b⁽³⁾ = (1 1 −3 1)^⊤. Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis R = {r⁽¹⁾, r⁽²⁾, r⁽³⁾} von V mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren.

10.3 Finden Sie die reelle Matrix M =

a b c d

,

von der bekannt ist, dass sie den Eigenwert λ₁ = 4 mit dem Eigenvektor x⁽¹⁾ = (1 1)^⊤ und den Eigenwert λ₂ = −1 mit dem Eigenvektor x⁽²⁾ = (3 −2)^⊤ besitzt.

Hinweis. Schreiben Sie die Eigenwertgleichungen auf, und ermitteln Sie hieraus a, b, c, d .

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit