Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 23. November 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
9. ¨Ubung : Eigenwerte I
9.1 InV =R2mit der Standard-Basis{e(1), e(2)}ist durch f(e(1)) = 4e(1)+ 3e(2) und f(e(2)) =−e(1) eine lineare Transformationf definiert.
Skizzieren Sie die Bildmenge des Rechtecks mit den Eckpunkten A(0, 1), B(2, 1), C(2, 2), D(0, 2) und die Bildmenge des Dreiecks mit den EckpunktenP(0, 0), Q(1, 1), R(0.5, 1.5).
Lesen Sie aus der Skizze ab, welche Richtungenxunterf unver¨andert bleiben.
9.2 Bestimmen Sie die unver¨andert bleibenden Richtungenxaus Aufgabe 9.1 exakt, indem Siexals Linearkombination der Basisvektoren darstellen und eine Eigenwertaufgabe formulieren.
9.3 Berechnen Sie von folgenden Matrizen die Eigenwerte.
Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert dessen algebraische und geometrische Vielfachheit sowie den zugeh¨origen Eigenunterraum.
A= 2 1
4 −1
, B= 1 −2
2 1
, C=
2 1
−1 4
,
D=
1 0 0 3 3 −4
−2 1 −2
, G=
2 2 1 0 2 1 0 −1 0
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Dr. U. Streit 23. November 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
10. ¨Ubung : Eigenwerte II
10.1 Ermitteln Sie das charakteristische Polynom der Matrix
A=
1 0 0 0
−2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0
,
indem Sie den Entwicklungssatz f¨ur Determinanten nutzen.
Bestimmen Sie alle Eigenwerte vonAund zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
10.2 Zeigen Sie mit Hilfe der Eigenwertgleichung:
Wennµ Eigenwert vonBist mit dem zugeh¨origen Eigenvektory, dann istµ2 Eigenwert der MatrixB2mit dem zugeh¨origen Eigenvektory. 10.3 Finden Sie von folgenden symmetrischen Matrizen jeweils die
Eigenwerte und zu jedem Eigenwert eine Orthonormalbasis des zugeh¨origen Eigenunterraums.
K=
1 2 3
2 −4 −2 3 −2 1
, L=
1 1 3 1 5 1 3 1 1
, N=
2 −1 2
−1 2 −2 2 −2 5
10.4 Finden Sie die reelle Matrix M=
a b c d
,
von der bekannt ist, dass sie den Eigenwertλ1= 4 mit dem Eigenvektor x(1)= (1 1)⊤ und den Eigenwertλ2=−1 mit dem Eigenvektor x(2)= (3 −2)⊤ besitzt.
Hinweis. Schreiben Sie die Eigenwertgleichungen auf, und ermitteln Sie hieraus a, b, c, d .
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