Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 23. November 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
10. ¨Ubung : Eigenwerte II
10.1 Ermitteln Sie das charakteristische Polynom der Matrix
A =
1 0 0 0
−2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 0
,
indem Sie den Entwicklungssatz f¨ur Determinanten nutzen.
Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
10.2 Zeigen Sie mit Hilfe der Eigenwertgleichung:
Wenn µ Eigenwert von B ist mit dem zugeh¨origen Eigenvektor y, dann ist µ2 Eigenwert der Matrix B2 mit dem zugeh¨origen Eigenvektor y. 10.3 Finden Sie von folgenden symmetrischen Matrizen jeweils die
Eigenwerte und zu jedem Eigenwert eine Orthonormalbasis des zugeh¨origen Eigenunterraums.
K =
1 2 3
2 −4 −2 3 −2 1
, L =
1 1 3 1 5 1 3 1 1
, N =
2 −1 2
−1 2 −2 2 −2 5
10.4 Finden Sie die reelle Matrix M =
a b c d
,
von der bekannt ist, dass sie den Eigenwert λ1 = 4 mit dem Eigenvektor x(1) = (1 1)⊤ und den Eigenwert λ2 = −1 mit dem Eigenvektor x(2) = (3 −2)⊤ besitzt.
Hinweis. Schreiben Sie die Eigenwertgleichungen auf, und ermitteln Sie hieraus a, b, c, d .
Aufgaben und L¨osungen : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
