Besitzt A einen betragsm¨ aßig gr¨ oßten Eigenwert λ und ist die Dimension des Eigenraums V
λmaximal, d.h. gleich der algebraischen Vielfachheit von λ, so gilt f¨ ur einen Vektor x mit einer nicht-trivialen Komponente v ∈ V
λA
nx = λ
n(v + o(1)), n → ∞ bzw. nach Normierung
n→∞
lim A
nx
kA
nxk = v kvk ,
d.h. die normierten Potenzen streben gegen einen normierten Eigenvektor.
Insbesondere gelten beide Identit¨ aten f¨ ur Matrizen mit einem
betragsm¨ aßig gr¨ oßten einfachen Eigenwert.
Beispiel
J¨ ahrliche Ver¨ anderung der Marktanteile x
kkonkurrierender Firmen In dem illustrierten Fall gewinnt die
Firma A j¨ ahrlich 80% der Marktan- teile der Firma D, und die Firma C vergr¨ oßert ihre Marktanteile um 90%, verliert jedoch gleichzeitig Marktan- teile an die Firmen A und D.
Ver¨ anderung der Marktanteile
A
neu= 0.7A + 0.4C + 0.8D B
neu= 0.5B + 0.2A
C
neu= 0.9C + 0.2B
D
neu= 0.1D + 0.6C + 0.2E E
neu= 0.8E + 0.1A + 0.3B
2 / 10
x
neu=
0.7 0 0.4 0.8 0
0.2 0.5 0 0 0
0 0.2 0.9 0 0 0 0 0.6 0.1 0.2 0.1 0.3 0 0 0.8
| {z }
P
x
alt, x = (A, B, C , D, E )
tMultiplikation mit der n-ten Potenz von P Marktanteile nach n Jahren
Die normierten Vektoren
x
◦= x/kxk
1, kxk
1= X
k
|x
k|
konvergieren gegen einen Eigenvektor zum betragsm¨ aßig gr¨ oßten Eigenwert:
λ
max= 1.1, v
max= (3, 1, 1, 1, 2)
t/8
prozentuale Anteile A : 37.5%, B, C , D : 12.5%, E : 25%
Beispiel
Rekursion der Fibonacci-Zahlen
a
0= 0, a
1= 1, a
n+1= a
n+ a
n−1, n > 0 Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, . . . Matrixform der Rekursion:
x
n+1= Ax
n, x
n= (a
n−1, a
n)
t, A =
0 1 1 1
Eigenwerte und Eigenvektoren von A:
λ
±= 1 2 ±
√ 5
2 , v
±= 1
λ
±4 / 10
a
0a
1= 0
1
= 1
√
5 v
+− 1
√ 5 v
−asymptotisches Verhalten a
n−1a
n= A
n−1a
0a
1= λ
n−1+√
5 v
+− λ
n−1−√ 5 v
−d.h.
a
n= λ
n−1+√
5 λ
+− λ
n−1−√
5 λ
−= 1
√ 5
1 2 +
√ 5 2
!
n(1 − (λ
−/λ
+)
n| {z }
o(1)
)
andere Startwerte a
1= 1 und a
2= 3 Lucas-Zahlen:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, . . . gleiches Wachstumsverhalten: a
n+1/a
n→ (1 + √
5)/2
Konvergenz von Matrix-Potenzen
Die Potenzen A
n, n = 0, 1, . . ., einer Matrix konvergieren genau dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als 1 ist.
Die Folge (A
n) bleibt beschr¨ ankt, wenn |λ| ≤ 1 f¨ ur alle Eigenwerte und f¨ ur Eigenwerte mit Betrag 1 die algebraische gleich der geometrischen
Vielfachheit ist, d.h. eine Basis aus Eigenvektoren f¨ ur den Eigenraum V
λexistiert.
Andernfalls divergiert die Folge, insbesondere dann, wenn ein Eigenwert mit Betrag gr¨ oßer als 1 existiert.
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Darstellung der Potenzen mit der Jordan-Form J = Q AQ A
n= (QJQ
−1)(QJQ
−1) · · · (QJQ
−1) = QJ
nQ
−1= ⇒ Es ist ausreichend die Konvergenz der Potenzen der Blockdiagonalmatrix J zu zeigen.
betrachte dazu die Bl¨ ocke
J
k= (λ
kE ) + D
mit λ
keinem Eigenwert von A und D einer Matrix mit einer
Nebendiagonale aus Einsen oder (f¨ ur einen diagonalen Jordanblock) der Nullmatrix
D
m= 0 f¨ ur einen Block der Dimension m = ⇒ (J
k)
n= λ
nkE +
n 1
λ
n−1kD + · · · + n
m − 1
λ
n−m+1kD
m−1Definition des Binomialkoeffizienten,
nj=
n·(n−1)···(n−j+1)j·(j−1)···1
= ⇒
Konvergenzeigenschaften
|λ
k| < 1: lim
n→∞ n j|λ
k|
n−k≤ |λ
−kk| lim
n→∞n
j|λ
k|
n= 0
= ⇒ (J
k)
n→ Nullmatrix
|λ
k| = 1: (J
k)
nnur beschr¨ ankt, wenn D die Nullmatrix ist
|λ
k| > 1: Divergenz, da λ
nk→ ∞
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Potenzen der 3 × 3-Matrizen
A =
1
2
1 0
0
121 0 0
12
, B =
1
2
1 0
0
120 0 0 1
, C =
1 1 0 0 1 0 0 0
12
(i) A
n→ Nullmatrix, da der Betrag aller Eigenwerte (1/2 mit Vielfachheit 3) kleiner als 1 ist
A
2=
1
4
1 1
0
141 0 0
14
, . . . , A
n=
2
−nn2
1−n n(n−1)22
2−n0 2
−nn2
1−n0 0 2
−n
(ii) kB
nk ≤ const, da der Betrag aller Eigenwerte kleiner oder gleich 1 ist, und der Eigenwert 1 einfach ist
B
2=
1
4
1 0
0
140 0 0 1
, . . . , B
n=
2
−nn2
1−n0
0 2
−n0
0 0 1
(iii) C
ndivergiert, da ein Eigenwert mit Betrag 1 und einem nicht-diagonalen Jordanblock existiert
C
2=
1 2 0 0 1 0 0 0
14
, . . . , C
n=
1 n 0
0 1 0
0 0 2
−n
10 / 10
