Kreinr¨aume und Kreinoperatoren

Kreinr¨aume und Kreinoperatoren

Baumann Phillip 25.02.2016

Betreuung: Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Harald Woracek

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Kreinr¨aume und Kreinoperatoren 3

3 Eigenwerte von Kreinoperatoren und deren Konjugierten 8

1 Einleitung

Diese Seminararbeit handelt von geordneten Banachr¨aumen mit einer durch die Ord- nungsstruktur festgelegten Menge, dem positiven Cone. Unter gewissen Vorraussetzungen an diesen kann man Operatoren definieren, die anschaulich gesprochen den Cone zusam- menziehen. Also nach einer endlichen Anzahl von Iterationen in sein Inneres abbilden.

Solche Operatoren haben interessante Eigenschaften: Zum einen besitzen sie maximal einen positiven Eigenwert, der alle anderen Eigenwerte betragsm¨aßig von oben beschr¨ankt und zum anderen ist ihr Spektralradius strikt positiv.

2 Kreinr¨ aume und Kreinoperatoren

Definition 2.1 (Cone). Sei V ein Vektorraum. K ⊆ V heißt Cone falls gilt:

1. K+K ⊆ K

2. αK ⊆ K, α≥0 3. K ∩(−K) = {0}

Bemerkung 2.2. Sei V ein Vektorraum und K ⊆ V ein Cone. Dann ist die als

x≥y:⇐⇒x−y∈ K, x, y ∈ V definierte Relation eine Ordnung auf V.

Umgekehrt ist f¨ur eine Ordnung ”≤” auf einem Vektorraum V die Menge

K={x∈ V :x≥0}

ein Cone. Man bezeichnet K h¨aufig auch mit V₊ und nennt ihn den positiven Cone der Ordnung ”≤”.

Definition 2.3 (generating). Sei V ein Vektorraum und K ⊆ V ein Cone.

K heißt generating, wenn V =K − K.

Definition 2.4 (archimedisch). Sei V ein Vektorraum, K ⊆ V ein Cone und ≥ die durch K induzierte Ordnung. K heißt archimedisch, wenn f¨ur x ∈ K und y ∈ V mit ny ≤x, n∈N folgt, dass y≤0.

Definition 2.5 (order unit). Sei V ein Vektorraum und K ⊆ V ein Cone. Außerdem bezeichne ≥ die durch K induzierte Ordnung. Dann heißt u ∈ K order unit wenn gilt:

∀x∈ V ∃λ≥0 :λu≥x

Definition 2.6 (Kreinraum). Ein Banachraum (L,k · k) zusammen mit einer Ordnungs- relation ”≤” heißt Kreinraum , wenn gilt:

1. L₊ ist abgeschlossen bez¨uglich der Normtopologie.

2. ∃ order unit

Satz 2.7 (Eigenschaften von Kreinr¨aumen). Sei L ein Kreinraum. Dann gilt:

1. L₊ ist generating 2. L₊ ist archimedisch

3. Die order units sind genau die inneren Punkte von L

Beweis.

ad 1: Sei x∈ L beliebig und u∈ L₊ eine order unit. Letzteres existiert nach Definition eines Kreinraums. Daher ∃λ > 0 :x ≤λu ⇐⇒λu−x∈ L+ bzw x−λu ∈ (−L+). Also erhalten wir x=λu+ (x−λu)∈ L₊+ (−L₊) und da x∈ L beliebig war:

L=L₊+ (−L₊)

ad 2: Sei y ∈ L und x ∈ L+ beliebig mit ny ≤ x, n ∈ N. =⇒ 0 ≤ ¹_nx −y bzw

1

nx −y ∈ L₊. Da in einem normierten Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren stetig sind, konvergiert ¹_nx −y −→ −y. Außerdem ist nach Definition eines^k·k Kreinraums der Cone L₊ abgeschlossen und daher gilt −y∈ L₊ bzw−y ≥0⇐⇒y≤0.

ad 3: Sei U ⊆ L₊ die Menge aller order units aus L₊ und L^◦₊ das Innere des positi- ven Cones. Wir beginnen den Beweis mit der Inklusion “⊆“. Sei dazu u∈ U eine order unit. =⇒ L=S

n∈Nn[−u, u]. Außerdem erhalten wir aus der Abgeschlossenheit von L+, dass [−u, u] = (−u +L₊)∩ (u− L₊) und damit auch n[−u, u] abgeschlossen ist f¨ur n ∈ N. Also ist L die abz¨ahlbare Vereinigung von abgeschlossenen Mengen und hat au- ßerdem nichtleeres Inneres. Somit erhalten wir mittels der Kontraposition vom Satz von

Baire: ∃n ∈ N : n[−u, u] hat nichtleeres Inneres =⇒ [−u, u] hat nichtleeres Inneres. Sei also v ein innerer Punkt von [−u, u] und V eine kreisf¨ormige offene Nullumgebung mit v+V ⊆[−u, u]. F¨urx∈V gilt:

u+x≥v +x≥ −u, x∈V

2u+x≥0, x∈V

u+ ¹₂x≥0, x∈V

Daher folgt u+¹₂V ⊆ L₊ und somit ist u∈ L^◦₊, was zu zeigen war.

F¨ur die Umkehrung sei u ∈ L^◦₊ beliebig. W¨ahle eine kreisf¨ormige Nullumgebung V mit u+V ⊆ L₊ =⇒ u±x ∈ L₊, x ∈ V. Also gilt −u ≤ x ≤ u ⇐⇒ x ∈ [−u, u]. Damit erhalten wirV ⊆[−u, u] bzw [−u, u]∈ U(0). Da Nullumgebungen absorbierende Mengen sind =⇒ ∀x ∈ L ∃λ_x > 0 mit λ_xx ∈ [−u, u] bzw x ≤ _λ¹

xu, woraus folgt, dass u eine order unit ist.

Beispiel 2.8. Der R² versehen mit der euklidischen Norm ist bekanntlich ein Banach- raum. Betrachte darauf den in der Normtopologie abgeschlossenen Cone

K = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0∧y ≥ 0} und die zugeh¨orige Ordnungsrelation ” ≤ ”. Wie man leicht einsieht, ist (1,1) ∈ K eine order unit bez¨uglich K und damit (R²,k · k) ein Kreinraum.

Definition 2.9(Kreinoperator). SeiLein Kreinraum. Ein positiver OperatorT :L → L heißt Kreinoperator, wenn gilt:

∀x∈ L₊\ {0} ∃n ∈N mit Tⁿx ist eine order unit.

Beispiel 2.10. Sei L der Kreinraum aus Beispiel 1.8 und T = 1 1

1 0

. Dann ist T ein Kreinoperator, denn aus T² =

2 1 1 1

=⇒ T²x∈ L^◦₊, x >0.

Lemma 2.11. Sei (L, τ) ein vollst¨andig metrisierbarer geordneter topologischer Vek- torraum, sodass L₊ abgeschlossen und generating ist. Weiters sei {U_n : n ∈ N} eine abz¨ahlbare Nullumgebungsbasis bestehend aus abgeschlossenen kreisf¨ormigen Mengen mit

U_n+1+U_n+1 ⊆U_n, n ∈N

Dann bilden die Mengen V_n :=U_n∩ L₊−U_n∩ L₊ ebenfalls eine Nullumgebungsbasis mit Vn+1+Vn+1 ⊆Vn, n∈N

Beweis. Siehe [1], Seite 66 ff.

Lemma 2.12. Sei(L, τ)wie im vorigen Lemma und (x_n)_n∈Nmitx_n →0. Dann existiert eine Teilfolge (u_n)n∈N von (x_n)n∈N und u∈ L₊, sodass gilt:

−_n¹u≤u_n≤ ¹_nu, n ∈N

Beweis. Sei (x_n)_n∈N eine beliebige Folge in L mit x_n →0 und {U_n}_n∈N eine abz¨ahlbare Nullumgebungsbasis bestehend aus abgeschlossenen kreisf¨ormigen Mengen mit

Un+1+Un+1 ⊆Un, n∈N

Dann bilden die Mengen V_n := U_n ∩ L₊ − U_n ∩ L₊ nach Lemma 1.11 ebenfalls eine Nullumgebungsbasis. =⇒ ∃ Teilfolge (u_n)n∈N von (x_n)n∈N f¨ur die gilt:

un ∈ _n¹Vn bzw nun∈Vn.

Nach der Konstruktion der Mengen V_n∃y_n, z_n ∈U_n∩ L₊, sodass nu_n =y_n−z_n, n∈N

Setze nun w_n :=

n

P

j=1

y_j bzw v_n:=

n

P

j=1

z_j =⇒

w_n+p−w_n∈U_n+1+U_n+2+· · ·+U_n+p ⊆U_n.

Damit ist (wn)n∈N eine Cauchyfolge und konvergiert wegen der Vollst¨andigkeit von L gegen ein w∈ L. Daw_n ∈ L₊ f¨urn ∈N und L₊ nach Vorraussetzung abgeschlossen ist, liegt auchw∈ L₊. Außerdem folgt aus w_n+p −w_n ∈ L₊:

w−wn∈ L+ bzw w≥wn≥yn, n ∈N Analog folgt f¨ur (v_n)n∈N:

∃v ∈ L₊ mit v_n →v und v ≥v_n ≥z_n, n∈N Damit gilt f¨uru:=w+v ∈ L₊:

−u=−w−v ≤ −v ≤ −z_n ≤y_n−z_n=nu_n ≤y_n ≤w_n ≤u, n∈N bzw

−¹_nu≤u_n≤ _n¹u, n∈N

Satz 2.13. Sei T :L → L ein Kreinoperator. Dann gilt:

1. T ist stetig.

2. T bildet order units auf order units ab.

3. Tⁿ ist ein Kreinoperator f¨ur n∈N.

Beweis. ad 1: SeiT ein Kreinoperator auf einem KreinraumL. Um die Stetigkeit vonT zu zeigen, wollen wir den Satz vom abgeschlossenen Graphen anwenden. Sei dazu (xn)n∈N

eine Folge in L so, dass x_n→0 und Tx_n→y. Wir m¨ussen nun zeigen, dass y=0.

Nach Lemma 1.12 existiert eine Teilfolge (u_n)n∈N und ein u∈ L₊ mit

−¹_nu≤un≤ _n¹u, n∈N Da T positiv ist =⇒

−_n¹Tu≤ Tu_n ≤ _n¹Tu, n ∈N

Aus der Abgeschlossenheit von L₊ erhalten wir nun durch den Grenz¨ubergang n→ ∞

0≤y≤0 ⇐⇒ y = 0

Aufgrund der Linearit¨at von T ist somit der Graph abgeschlossen und da L ein Banach- raum ist, folgt die Stetigkeit aus dem Satz vom abgeschlossenen Graphen.

ad 2: Sei u ∈ L eine order unit und k ∈ N so, dass T^ku eine order unit ist. (So ein k existiert nach der Definition eines Kreinoperators).

Da u eine order unit ist∃α >0 mit

T^k−1u≤αu Aus der Positivit¨at vonT =⇒

T^ku≤αTu

und da T^kueine order unit ist =⇒ Tuist eine order unit.

ad 3: Sei n ∈Nbeliebig und x∈ L+. Da T ein Kreinoperator ist =⇒ Tⁿ ist positiv und

∃k ∈ N, sodass T^kx eine order unit ist. Mit 2) folgt nun, dass (Tⁿ)^kx auch eine order unit und damit Tⁿ ein Kreinoperator ist.

3 Eigenwerte von Kreinoperatoren und deren Kon- jugierten

Satz 3.1. Sei T : L → L ein Kreinoperator, x₀ > 0 ein Eigenvektor mit zugeh¨origem Eigenwert λ₀. Dann gilt:

1. λ0 >0

2. x₀ ist eine order unit

3. Der Eigenraum bez¨uglich λ₀ ist eindimensional

Beweis. ad 1: Da T positiv ist, folgt f¨ur einen Eigenvektor x₀ >0:

0≤ Tx₀ =λ₀x₀

Im Fall Tx0 = 0 folgt jedoch f¨ur n ∈ N : Tⁿx0 = 0 und das widerspricht der Eigen- schaft von Kreinoperatoren, jedes nichtnegative Elemente nach einer endlichen Anzahl an Iterationen ins Innere des Cones abzubilden. Also erhalten wir:

0<Tx0 =λ0x0 =⇒λ0 >0

ad 2: DaT ein Kreinoperator ist ∃k∈N, sodass T^kx₀ =λ^k₀x₀ eine order unit ist. Damit ist aber auchx₀ eine order unit.

ad 3: Sei x0 wie im Satz beschrieben und x ein weiterer Eigenvektor bez¨uglich λ0. W¨ahle α∈R so, dass x₀+αx ∈∂L₊.

Nun gilt α6= 0, da andernfalls

x0+αx=x0 ∈∂L+

was ein Widerspruch zu der Annahme ist, dass x₀ eine order unit ist, welches nach Satz 1.7.3 im Inneren des Cones liegt. Weiters erhalten wir mit der Annahme x₀+αx >0

0<T(x₀+αx) = λ₀(x₀+αx)=²⁾⇒x₀+αx ist order unit, also x₀+αx ∈Int(L₊) also wieder einen Widerspruch.

Damit folgt x₀ +αx = 0 bzw x = −_α¹x₀ bzw x ∈ [{x₀}]. Also ist der Eigenraum eindi- mensional.

Satz 3.2. Ein Kreinoperator T hat (neben skalaren Vielfachen) maximal einen positiven Eigenvektor. Falls x₀ > 0 der positive Eigenvektor zu dem Eigenwert λ₀ ist =⇒ λ₀ > 0 und |λ| ≤λ₀ f¨ur alle reelen Eigenwerte.

Beweis. Sei x0 Eigenvektor bez¨uglich λ0

=2.1⇒ λ0 > 0, x0 ist eine order unit und bis auf skalare Vielfache der einzige Eigenvektor zu λ₀.

Angenommen∃λ ∈REigenwert mit

|λ|> λ₀ ⇐⇒ |_λ^λ

0|>1

und sei xein zugeh¨origer Eigenvektor. Dax₀ eine order unit ist ∃α ∈R, sodass

±x≤αx₀ Da T positiv ist, folgt

Tⁿ(±x)≤αTⁿ(x₀) =⇒ λⁿ(±x)≤αλⁿ₀x₀ =⇒

|_λ^λ

0|ⁿ(±x)≤αx0. Da nach Annahme |_λ^λ

0| > 1 und L₊ archimedisch ist =⇒ (±x) ≤ 0 und damit x = 0.

Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass x ein Eigenvektor ist. Somit erhalten wir

|λ| ≤λ0.

Angenommenx₁ >0 ist ein Eigenvektor bez¨uglich λ₁. Dann erhalten wir mit dem soeben Bewiesenen:

λ1 ≤λ0 und λ0 ≤λ1

Also gilt λ₁ =λ₀ und der Satz ist bewiesen.

Satz 3.3. Der konjugierte Operator eines positiven Operators auf einem Kreinraum L besitzt einen positiven Eigenvektor bez¨uglich einem nichtnegativen Eigenwert.

Beweis. Sei T ein positiver Operator und u∈ L eine order unit. W¨ahle r >0 so, dass kxk ≤r =⇒u±x∈ L₊

Damit gilt f¨urkxk ≤1 und f ∈ L₊

f(u±rx)≥0 bzw |f(x)| ≤ ^f(u)_r Also folgt kfk ≤ ^f(u)_r , f ∈ L⁰₊.

Defniere nun die Menge C := {f ∈ L⁰₊ : f(u) = 1} = L⁰₊ ∩ j_u⁻¹({1}), wobei j_u das Punktauswertungsfunktional an der Stelleu bezeichnet. C ist eine nichtleere (wende das algebraic seperating hyperplane theorem auf die disjunkten Mengen {0} und L₊\ {0}

an) und konvexe Teilmenge von L⁰₊. Da L⁰₊ = T

x∈L₊j_x⁻¹([0,∞)) als Durchschnitt von ω^∗-abgeschlossenen Mengenω^∗-abgeschlossen ist, ist auch C ω^∗-abgeschlossen. Außerdem giltkfk ≤ ¹_r, f ∈ C. Damit istC nach dem Satz von Banach - Alaoglu eineω^∗-kompakte Menge.

Auf dieser Menge defnieren wir die Abbildung F :C −→ C durch F(f) = ^f+T

0f

[f+T⁰f](u) = ^f+T

0f 1+T⁰f(u)

Wir zeigen nun die Stetigkeit von F bez¨uglich derω^∗-Topologie. Sei dazu (fi)i∈I ein Netz aus C und f ∈ C mit

Dadurch erhalten wir limi∈I F(f_i)(x) = lim

i∈I

fi(x)+T⁰fi(x) [fi+T⁰fi](u) = lim

i∈I

fi(x)+fi(Tx)

[fi+T⁰fi](u) = ^f(x)+T

0f(x)

[f+T⁰f](u) =F(f)(x), x∈ L Damit gilt lim

i∈I F(f_i) = F(f) und die Stetigkeit von F ist gezeigt.

Nach dem Fixpunktsatz von Tychonoff ∃φ ∈ C mit F(φ) = φ. F¨ur dieses φ gilt:

φ+T⁰φ= [1 +T⁰φ(u)]φ⇐⇒ T⁰φ = [T⁰φ(u)]φ Also ist 0< φ∈ L⁰₊ ein Eigenvektor bez¨uglich λ:=T⁰φ(u)≥0.

Definition 3.4. Sei V ein Vektorraum und T : V → V ein stetiger Operator. Ein Un- tervektorraum U ⊆ V heißt T- hyperinvariant :⇐⇒

S(U)⊆ U,

f¨ur alle stetigen Operatoren S :V −→ V, die mit T kommutieren.

Satz 3.5. Sei L ein Kreinraum undT :L −→ Lein positiver Operator, der kein Vielfa- ches der Identit¨at ist. Dann existiert ein nichttrivialer, T- hyperinvarianter, abgeschlos- sener Unterraum U ⊆ L.

Beweis. Seien T und L wie im Satz beschrieben. Nach Satz 2.3 ∃λ ≥0,0< φ∈ L⁰ mit T⁰φ=λφ. Definiere den Operator

R:=T −λI Damit gilt

R⁰φ= 0 bzwφ(Rx) = 0, x∈ L

Da φ 6= 0 =⇒ U := R(L) 6= L. Denn andernfalls ∃y ∈ L, sodass φ(y) 6= 0 und (x_n)n∈N

mit Rx_n →y. Aus der Stetigkeit von φ erhalten wir:

φ(y) =φ( lim

n→∞Rxn) = lim

n→∞φ(Rxn) = lim

n→∞R⁰φ(xn) = 0

was ein Widerspruch zur Annahme φ(y)6= 0 ist. Weil T kein Vielfaches der Identit¨at ist

=⇒ U 6={0}.

Außerdem istU abgeschlossen. Bleibt also nur noch zu zeigen, dassS(U)⊆ S, f¨ur alle stetigen, mit T kommutierenden Operatoren gilt. Sei dazu S stetig mitST =T S. Dann gilt:

S(U) = S(R(L)⊆ S(R(L) = R(S(L)⊆ R(L) = U

Also istU ein nichttrivialer, abgeschlossener T - hyperinvarianter Unterraum von L.

Bemerkung 3.6. Die Vorraussetzungen des vorigen Satzes sind f¨ur jeden Kreinoperator erf¨ullt, da diese kein Vielfaches der Identit¨at sein k¨onnen.

Satz 3.7. Jeder Kreinoperator hat positives Spektralmaß.

Beweis. Sei T : L −→ L ein Kreinoperator. Nach Satz 2.3 ∃λ ≥ 0,0 < φ ∈ L⁰ mit T⁰φ = λφ. Angenommen λ = 0 und sei x > 0, n ∈ N so, dass Tⁿx eine order unit ist.

dann gilt:

0<[φ,Tⁿx] = [T⁰φ,Tⁿ⁻¹x] =λ[φ,Tⁿ⁻¹x] = 0

Die strikte Ungleichung gilt hier, da im Fall φ(Tⁿx) = 0 wegen der Positivit¨at von φ=⇒ φ(y) = 0, y∈ L₊.DaL₊ generating ist, ist das gleichbedeutend mitφ(y) = 0, y∈ L.

Das steht jedoch im Widerspruch zu φ > 0. Also giltλ > 0. Dar(T) = lim

n→∞kTⁿkⁿ¹ und kT k=kT⁰k gilt:

r(T) = r(T⁰)>0

Satz 3.8. Sei {T_α}α∈Aeine Familie von paarweise kommutierenden positiven Operatoren auf einem Kreinraum L.

Dann hat die Familie der konjugierten Operatoren {T_α⁰}α∈A einen gemeinsamen positiven Eigenvektor bez¨uglich einer Famile von nichtnegativen Eigenwerten. Also ∃φ ∈ L⁰₊ und {λ_α}α∈A ∈R⁺, sodass

T_α⁰φ=λαφ, α∈ A

Beweis. Sei u∈ L eine order unit und C :={f ∈ L⁰₊ :f(u) = 1}. Wie bereits gezeigt ist C eine nichtleere, konvexe und ω^∗-kompakte Menge.

F¨ur jedes α betrachte die stetige AbbildungF_α : (C, ω^∗)−→(C, ω^∗) definiert durch F_α(f) := ^f+T

0 αf

[f+T_α⁰f](u) = ^f+T

0 αf 1+T_α⁰f(u)

Sei D_α die Menge aller Fixpunkte von T_α

D_α ={f ∈ C :F_α(f) =f}= [F_α−id]⁻¹({0})

Nach Satz 2.3 ist Dα nichtleer und abgeschlosssen in der ω^∗-Topologie und damit als Teilmenge einer kompakten Menge selbst kompakt.

Wir wollen nun zeigen, dass T

α∈A 6= ∅ bzw ¨aquivalent dazu, dass {D_α}α∈A die endliche Durchschnittseigenschaft hat. Denn aus der Kompaktheit von C folgt dann die Aussage.

Der Beweis hierf¨ur l¨auft ¨uber vollst¨andige Induktion:

DaD_α 6=∅, α∈ A stimmt der Induktionsanfang trivialerweise. Nehmen wir nun an f¨ur jede n-elementige Indexmenge gilt:

Tn

i=1D_αi 6=∅

Seien nunα₁, α₂, . . . α_n, α_n+1 gegeben. Wr m¨ussen nun zeigen, dass Tn+1

i=1 Dαi 6=∅

Nach unserer Induktionsannahme existiert ein 0< φ∈ D_α1 ∩ · · · ∩ D_αn. Setze

Die Mengen C_i sind konvex und nichtleer, da φ∈ C_i, i∈ {1. . . n}. Außerdem sieht man analog zum Beweis der Mengen D_α, dass C_i kompakt ist. Weiters gilt f¨ur ein beliebiges f ∈ C_i:

T_α⁰

i(F_αn+1f) = T_α⁰

i( ^f+T

0 αn+1f 1+T_αn+1⁰ f(u)) = ^T

0

αif+T_αi⁰ T_αn+1⁰ f 1+T_αn+1⁰ f(u) = ^T

0

αif+T_αn+1⁰ T_αi⁰ f 1+T_αn+1⁰ f(u)

= ^λif+λiT

0 αn+1f

1+T_αn+1⁰ f(u) =λ_i( ^f+T

0 αn+1f

1+T_αn+1⁰ f(u)) =λ_i(F_αn+1f) Daraus folgtF_αn+1(C_i)⊆ C_i. Daher ist G :=Tn

i=1C_i ebenfalls eine konvexe, ω^∗-kompakte, nichtleere (φ ∈ G) Menge mit Fαn+1(G) ⊆ G. Nach dem Fixpunktsatz von Tychonoff existiert 0< ψ∈ G mit F_αn+1(ψ) =ψ. Da ψ ∈ C_i, i∈ {1. . . n}gilt:

F_αi(ψ) = ψ, i∈ {1. . . n+ 1} ⇐⇒ψ ∈Tn+1 i=1 D_αi

Also hat die Famile{D_α}α∈Adie endliche Durchschnittseigenschaft und wegen der Kom- paktheit von C nichtleeren Durchschnitt.

Literatur

[1] Charalambos D. Aliprantis & Rabee Tourky:Cones and Duality, American Mathematical Society, Juni 2007.

[2] Harald Woracek & Michael Kaltenb¨ack & Martin Bl¨umlinger: Funk- tionalanalysis, Vorlesungsunterlagen, Februar 2015.