L¨ osungen zur 6. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker
(SS 14)
Aufgabe 1.
Berechnen Sie den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der Polynome f(x) = x4+ x3+x2+ 8x+ 7 und g(x) =x5+x4+x3+x2 in Q[x].
L¨osung: Wende den Euklidischen Algorithmus f¨ur Polynome an:
g(x) = q1(x)f(x) +r1(x) mit q1(x) =x und r1(x) =−7x2−7x f(x) = q2(x)r1(x) +r2(x) mit q2(x) = −1
7(x2+ 1) und r2(x) = 7x+ 7 r1(x) = q3(x)r2(x) +r3(x) mit q3(x) = −xund r3(x) = 0.
Dar3(x) = 0 gilt, ist der gesuchte ggT das normierte Polynom zur2(x). Also gilt ggT(f, g) =x+ 1.
Aufgabe 2.
Bestimmen Sie alle normierten und irreduziblen Polynome bis zum Grad 2 uber¨ Z3.
L¨osung:Grad 0: Normierte Polynome vom Grad 0 gibt es nur eines, n¨amlich 1, und dies ist eine Einheit, also nicht irreduzibel per Definition.
Grad 1: Normierte Polynome vom Grad 1 sind alle irreduzibel per Definition:
{x, x+ 1, x+ 2}.
Grad 2: Bestimme erstmal die reduziblen durch Multiplikation der Polynome vom Grad 1:
x2 = xx
x2+ 2 = (x+ 1)(x+ 2) x2+x = x(x+ 1) x2+x+ 1 = (x+ 2)2
x2+ 2x = x(x+ 2) x2+ 2x+ 1 = (x+ 1)2
Alle, die nicht reduzibel sind, sind irreduzibel. Erhalte damit als irreduzible Polynome:
x2+ 1, x2 +x+ 2, x2 + 2x+ 2.
Aufgabe 3.
Konstruieren Sie einen K¨orper mit 9 Elementen. Geben Sie die Elemente ihres K¨orpers explizit an und bestimmen Sie zu jedem Element 6= 0 sein multiplikativ Inverses.
L¨osung: Es gilt 9 = 32. W¨ahle also ein irreduzibles Polynom vom Grad 2 ¨uber Z3 aus, zum Beispiel f(x) = x2 + 1. Dann ist K = Z3[x]/fZ3[x]
ein K¨orper mit 9 Elementen. Seine Elemente sind die Restklassen mit den Repr¨asentanten:
{0,1,2, x, x+ 1, x+ 2,2x,2x+ 1,2x+ 2.
Berechne multiplikativ Inverse mit dem Euklidischen Algorithmus. Zum Bei- spiel ist ggT(f,2x+ 1) = 1 = u∗f +v(2x+ 1). Dann ist v das Inverse zu 2x+ 1 in K. Insgesamt erhalte:
1−1 = 1 2−1 = 2 x−1 = 2x (x+ 1)−1 = (x+ 2) (x+ 2)−1 = (x+ 1)
(2x)−1 = x
(2x+ 1)−1 = (2x+ 2) (2x+ 2)−1 = (2x+ 1)
Aufgabe 4.
Es sei V derQ-Vektorraum der Polynome vom Grad h¨ochstens 3. Zeigen Sie,
daß die Polynome
a(x) = x3 +x2−2x+ 3 b(x) = x3 + 3x2−9x c(x) = x3 + 2x+ 2 d(x) = x2 −3x−2
eine Basis von V bilden und stellen Sie die Polynome 1, x, x2, x3 in dieser Basis dar.
L¨osung: Sicherlich ist {1, x, x2, x3} eine Basis f¨urV (die Standardbasis). Es gilt
B
1 x x2 x3
=
a b c d
f¨ur die Matrix
B :=
3 −2 1 1 0 −9 3 1
2 2 0 1
−2 −3 1 0
.
Die MatrixB hat Rang 4. Damit ist auch {a, b, c, d}eine Basis vonV. Weiter gilt
B−1 :=
1 −1/2 −1/2 1/2 2 −3/2 −1/2 5/2 8 −11/2 −5/2 19/2
−6 4 3 −6
.
Damit folgt
1 = 1·a−1/2·b−1/2·c+ 1/2·d x = 2·a−3/2·b−1/2·c+ 5/2·d x2 = 8·a−11/2·b−5/2·c+ 19/2·d x3 = −6·a+ 4·b+ 3·c−6·d
Aufgabe 5.
Sei K ein beliebiger K¨orper und f(x)∈K[x] ein Polynom vom Grad 2 oder 3. Zeigen Sie, daßf(x) genau dann irreduzibel ist, wennf(x) keine Nullstelle hat. Wieso gilt das nicht f¨ur Polynome vom Grad 4 oder h¨oher?
L¨osung: Wir zeigen die Negation der Aussage.
(1) f(x) habe eine Nullstelle a ∈ K. Dann gilt f(x) = (x−a)g(x) f¨ur ein g(x)∈K[x] undgrad(g) =grad(f)−1∈ {1,2}. Damit istf(x) reduzibel.
(2) f(x) sei reduzibel. Dann gilt f(x) = g(x)h(x) und grad(f) = grad(g) + grad(h) und grad(g) ≥ 1 und grad(h) ≥ 1. Das ist bei grad(f) ≤ 3 nur dann realisierbar, wenn grad(g) = 1 (oder grad(h) = 1) gilt. Wenn grad(g) = 1 gilt, dann istg(x) =ax+bund damit hatg(x) die Nullstelle
−a/b ∈K. Also hat dann auch f(x) die Nullstelle −a/b∈K.
(3) Sei f(x) ein Polynom vom Grad 4. Dann kann f(x) = g(x)h(x) mit grad(g) =grad(h) = 2 gelten und weder g noch h haben eine Nullstelle.
Damit hat dann auch f keine Nullstelle. Ein Beispiel daf¨ur ist (x2−2)·(x2−3)∈Q[x].
Analog gilt diese Aussage f¨ur Polynome von h¨oherem Grad.
Abgabe: Dienstag,den 15. Juli 2014, vor der Vorlesung.
