5. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Wieviele Einheiten hat

5. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Wieviele Einheiten hat Z

f¨ur n = 101, n = 1024 und n = 30126?

Aufgabe 2.

In welchem der Ringe Z

, Z

oder Z

existiert 17

? Wenn es existiert, dann berechnen Sie es.

Aufgabe 3.

Die Zahlen n = 284296372278866459 und b = 17 beschreiben ein RSA Kryp- tosystem.

(a) Verschl¨usseln Sie die Nachricht y = 333.

(b) Entschl¨usseln Sie die Nachricht x = 777. (Hierzu m¨ussen Sie den Code brechen, also die definierenden Parameter p, q, ϕ(n) und a herausfinden.) Sie d¨urfen einen Computer oder Taschenrechner f¨ur die einzelnen Rechen- schritte verwenden.

Aufgabe 4.

L¨osen Sie das folgende System von Kongruenzen:

a ≡ 1 mod 2 a ≡ 2 mod 3 a ≡ 4 mod 5

Aufgabe 5.

Zeigen Sie, daß jedes Ideal in Z ein Hauptideal ist.

(Tipp: f¨ur I 6= {0} und w¨ahle a als das Element in I \ {0} von minimalem Betrag. Zeigen Sie, daß dann I = a Z gilt.)

Abgabe: Dienstag,den 1. Juli 2014, vor der Vorlesung.