L¨osungen zur 5. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Wieviele Einheiten hat

L¨ osungen zur 5. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Wieviele Einheiten hat Zⁿ f¨ur n= 101, n = 1024 undn = 30126?

L¨osung:

(a) n = 101 ist eine Primzahl. Also giltϕ(n) = 101−1 = 100.

(b) n = 1024 = 2¹⁰. Also gilt ϕ(n) = 2⁹(2−1) = 2⁹ = 512.

(c) n = 30126 = 2·3·5021. Also giltϕ(n) = (2−1)(3−1)(5021−1) = 10040.

Aufgabe 2.

In welchem der RingeZ³³³,Z¹⁰⁰⁰oderZ⁵⁸¹⁴ existiert 17⁻¹? Wenn es existiert, dann berechnen Sie es.

L¨osung:

(a) Es gilt ggT(17,333) = 1. Also existiert 17⁻¹. Mit dem Euklidischen Al- gorithmus folgt 17⁻¹ = 98.

(b) Es gilt ggT(17,1000) = 1. Also existiert 17⁻¹. Mit dem Euklidischen Algorithmus folgt 17⁻¹ = 353.

(c) Es gilt ggT(17,5814) = 17. Also existiert 17⁻¹ in diesem Fall nicht.

Aufgabe 3.

Die Zahlen n= 284296372278866459 undb = 17 beschreiben ein RSA Kryp- tosystem.

(a) Verschl¨usseln Sie die Nachricht y= 333.

(b) Entschl¨usseln Sie die Nachricht x = 777. (Hierzu m¨ussen Sie den Code brechen, also die definierenden Parameterp,q,ϕ(n) undaherausfinden.) Sie d¨urfen einen Computer oder Taschenrechner f¨ur die einzelnen Rechen- schritte verwenden.

L¨osung:

(a) Es gilt y^b modn = 169759853160081418.

(b) Es gilt n =pq f¨ur p= 529510939 und q= 536903681.

Damit ist ϕ(n) = (p−1)(q−1) = 284296371212451840.

Also a=b⁻¹ modϕ(n) = 50169947861020913.

Jetzt berechne z =x^a modn und erhalte z = 21585539627924263.

(Im letzten Schritt hilft ’repeated squaring’.)

Aufgabe 4.

L¨osen Sie das folgende System von Kongruenzen:

a ≡1 mod 2 a ≡2 mod 3 a ≡4 mod 5

L¨osung:

(a) Bilde q1 = 15 und b1 =q⁻1¹ modp1 = 15⁻¹ mod 2 = 1.

(b) Bilde q2 = 10 und b2 =q⁻2¹ modp2 = 10⁻¹ mod 3 = 1.

(c) Bilde q3 = 6 undb3 =q3⁻¹ modp3 = 6⁻¹ mod 5 = 1.

(d) Damit erhalte a=P

aibiqi = 15 + 20 + 24 = 59≡29 mod 30.

Aufgabe 5.

Zeigen Sie, daß jedes Ideal in Zein Hauptideal ist.

(Tipp: f¨ur I 6= {0} und w¨ahle a als das Element in I \ {0} von minimalem Betrag. Zeigen Sie, daß dann I =aZ gilt.)

L¨osung: Sicherlich gilt {0} = 0Z. Sei also I 6= {0} und a wie im Tipp beschrieben.

(a) Zeige I ⊆aZ. Seib∈I. Division mit Rest liefert b =qa+r f¨ur einr∈Z mit |r|< a. Da I ein Ideal ist, gilt r=b−qa∈I. Nach der Wahl von a folgt damit r = 0. Damit gilt b=qa∈aZ.

(b) Zeige aZ ⊆ I. Dies folgt sofort aus der Definition eines Ideals und der Wahl a∈I.

Abgabe: Dienstag,den 1. Juli 2014, vor der Vorlesung.