L¨osungen zur 3. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. F¨ur eine Gruppe

L¨ osungen zur 3. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14) Aufgabe 1.

F¨ur eine Gruppe G ist das ZentrumZ(G) definiert durch Z(G) = {g ∈G|hg=gh f¨ur alle h∈G}.

Zeigen Sie, daß Z(G) ein Normalteiler in Gist.

L¨osung:

(1) 1∈Z(G) ist klar. Damit istZ(G) nicht leer.

(2) Sei g ∈ Z(G). Dann gilt hg = gh f¨ur alle h ∈ G. Multipliziere diese Gleichung von beiden Seiten mit g⁻¹. Das ergibt g⁻¹h = hg⁻¹. Also ist auch g⁻¹ ∈Z(G).

(3) Seien g1, g2 ∈ Z(G). Dann gilt hg1g2 = (hg1)g2 = (g1h)g2 = g1(hg2) = g¹g²h. Also ist auch g¹g² ∈Z(G).

(4) Nach (1)-(3) ist Z(G) eine Untergruppe von G, dennZ(G) ist nicht leer und f¨ur g¹, g² ∈Z(G) ist auch g¹g2⁻¹ ∈Z(G).

(5) Sei g ∈ Z(G) und k ∈G beliebig. F¨ur h∈ G gilt dann hg^k =hk⁻¹gk = (hk⁻¹)gk = g(hk⁻¹)k = gh. Analog gilt g^kh =hg. Also folgt g^kh =hg^k und g^k ∈Z(G). Damit istZ(G) ein Normalteiler in G.

Aufgabe 2.

Sei Gdie Quadratgruppe. Bestimmen Sie Z(G).

L¨osung: Sei a = (1,2,3,4) die Drehung um 90 Grad und b = (1,4)(2,3), c = (1,2)(3,4), d = (2,4), e = (1,3) die Spiegelungen des Quadrates. Dann ist G = {(), a, a², a³, b, c, d, e}. Damit gilt Z(G) = {(), a²}, wie man durch nachrechnen zeigen kann.

Aufgabe 3.

Sei G=R\ {−1}und definiere

g∗h:=gh+g+h f¨ur alle g, h∈G.

Zeigen Sie, daß G bez¨uglich der Verk¨upfung ∗ eine abelsche Gruppe ist.

Geben Sie das neutrale Element und die inversen Elemente explizit an.

L¨osung:

(1) ∗ist assoziativ, denn (g∗h)∗k = (gh+g+h)∗k = (gh+g+h)k+gh+g+h+

k =ghk+gk+hk+gh+g+h+kundg∗(h∗k) = ghk+gk+hk+gh+g+h+k analog.

(2) Es gilt g∗0 = g0 +g+ 0 =g und damit ist 0 das neutrale Element.

(3) Zu g ∈ G ist g ∗h = 0 genau dann, wenn gh+g +h = 0 oder wenn h=−g/(g+ 1). Also ist −g/(g+ 1) das inverse Element zu g.

(4) ∗ ist kommutativ, da die Addition in Rkommutativ ist.

Aufgabe 4.

Sei n∈N. Zeigen Sie, daß die folgenden Gleichungen f¨ur allex, y ∈Zgelten:

(a) (x+y) modn = ((xmodn) + (y modn)) modn.

(b) (x·y) mod n= ((xmodn)·(ymodn)) mod n.

L¨osung: Sei x = q¹n+r¹ und y = q²n+r² und damit r¹ = xmodn und r2 =ymodn.

(a) Dann gilt x+y = (q¹ +q²)n+r¹ +r². Sei r¹+r² = qn+r. Dann gilt x+y= (q¹+q²+q)n+r. Damit folgtr =x+ymodn=r¹+r² modn.

Das liefert das gesuchte Ergebnis.

(b) Dann gilt xy = (q¹n+r¹)(q²n+r²) = q¹q²n² +q¹nr² +q²nr¹+r¹r² = n(q¹q²n+q¹r²+q²r¹) +r¹r². Sei r¹r² = qn+r. Dann gilt xy =q^′n+r und damit das gesuchte Ergebnis.

Aufgabe 5.

F¨ur einen Gruppenhomomorphismus ϕ : G → H sei der Kern Kern(ϕ) definiert durch

Kern(ϕ) ={g ∈G|ϕ(g) = 1}.

Zeigen Sie: Genau dann ist ϕ injektiv, wenn Kern(ϕ) = {1} gilt.

L¨osung:

(1) Sei ϕ injektiv und sei g ∈ Kern(ϕ). Dann ist ϕ(g) = 1 = ϕ(1). Da ϕ injektiv ist, folgt g = 1. Also folgt Kern(ϕ) ={1}.

(2) SeiKern(ϕ) ={1}. Seiϕ(g) = ϕ(h). Dann giltϕ(gh⁻¹) =ϕ(g)ϕ(h)⁻¹ = 1. Nach Voraussetzung ist dann gh⁻¹ = 1 und damit g = h. Also ist ϕ injektiv.