1. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Sei

1. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Sei M eine endliche Menge. Zeigen Sie, daß dann |P (M)| = 2

gilt.

Aufgabe 2.

Seien A, B, C, D Teilmengen einer Grundmenge M . Beweisen oder wiederle- gen Sie die folgenden Aussagen.

(a) Aus A ∪ B = A ∪ C folgt B = C . (b) Aus A ∩ B = A ∩ C folgt B = C.

(c) Aus A ⊆ B folgt B

⊆ A

. Aufgabe 3.

Bestimmen Sie per Division mit Rest die B -adische Darstellung der Zahl 134917 f¨ur B = 2 und B = 16.

Aufgabe 4.

Bestimmen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den ggT von 20622 und 13314.

Aufgabe 5.

Eine nat¨urliche Zahl v heißt Quadratzahl, falls es eine nat¨urliche Zahl w gibt mit w

= v . F¨ur n ∈ N

sei

P (n) = {m ∈ N | n

+ m

ist eine Quadratzahl}.

(a) Bestimmen Sie P (0).

(b) Sei n ≥ 3 ungerade. Zeigen Sie, daß |P (n)| ≥ 1 gilt.

(c) Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie P (p).

(d) Finden Sie mindestens 10 verschiedene Elemente in P (60). (Computer!) Tipp: Experimentieren Sie zun¨achst mit Hilfe eines Computers. Versuchen Sie dann, die Ergebnisse Ihrer Beobachtung zu zeigen.

Abgabe: Dienstag,den 29. April 2014, vor der Vorlesung.