Probeklausur zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14)

Probeklausur zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Lesen Sie alle Aufgaben vor der Bearbeitung genau durch und begr¨unden Sie alle Antworten ausf¨uhrlich. Die Bearbeitungszeit betr¨agt 90 min. Hilfsmittel sind nicht zugelassen mit Ausnahme eines Din-A-4 Zettels, der einseitig von Ihnen pers¨onlich handschriftlich beschrieben ist.

Aufgabe 1.

Es sei w = √

3 und R = { a + bw | a, b ∈ Z } . Dann ist R ein Ring.

(a) Ist w + 2 eine Einheit in R? Wenn ja, dann geben Sie das Inverse an.

(b) Gibt es Nullteiler in R?

Aufgabe 2.

Sei I das kleinste Ideal von Z , welches die Zahlen 77 und 49 enth¨alt. Bestim- men Sie ein a ∈ Z mit I = aZ.

Aufgabe 3.

Zeigen Sie, daß eine Gruppe G mit der Eigenschaft x

= 1 f¨ur alle x ∈ G abelsch ist.

Aufgabe 4.

Berechnen Sie eine L¨osung a ∈ Z f¨ur das folgende System von Kongruenzen:

a ≡ 2 mod 5 a ≡ 1 mod 2 a ≡ 0 mod 7

Aufgabe 5.

F¨ur welche der folgenden a ∈ Z

existiert a

in Z

. Wenn es existiert, dann berechnen Sie es.

(a) a = 7.

(b) a = 4.

(c) a = 25.

Aufgabe 6.

Bestimmen Sie | E(Z

) | f¨ur n = 99, n = 32 · 7 und n = 5

. Aufgabe 7.

Bestimmen Sie die Ideale von Z

. Aufgabe 8.

Bestimmen Sie den gr¨oßten gemeinsamen Teiler der Polynome f(x) = x

+ x

+ x und g(x) = x

+ 2x

+ 1.

Aufgabe 9.

Sei K = Z

der K¨orper mit 5 Elementen.

(a) Wieviele Polynome enth¨alt K[x]?

(b) Bestimmen Sie E(K[x]).

(c) Wieviele irreduzible Polynome vom Grad 2 gibt es in K [x]? Berechnen Sie eines.

Aufgabe 10.

Sei K = Z

der K¨orper mit 5 Elementen und sei f(x) = x

+ x + 1 ∈ K[x].

Weiter sei I = f (x)K[x] das von f(x) erzeugte Ideal in K[x] und L = K [x]/I.

(a) Wieviele Elemente enth¨alt L?

(b) Ist L ein K¨orper?

Aufgabe 11.

Sei f (x) = x

+3x

+5x

+7x

+6x +2 ∈ Q[x]. Finden Sie eine Faktorisierung

in quadratfreie Polynome f¨ur f (x).