L¨osungen zu 2. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Sei

L¨ osungen zu 2. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Sei X = Z × N und M = {(a, b) ∈ X | a 6= 0 und ggT (a, b) = 1} ∪ {(0, 1)}.

Definiere die Relation R auf X durch

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.

(a) Zeigen Sie, daß R eine ¨ Aquivalenzrelation ist.

(b) Zeigen Sie, daß die ¨ Aquivalenzklassen von R in Bijektion zu M stehen.

L¨ osung:

(a) • Reflexiv: Es gilt (a, b) ∼ (a, b).

Denn: ab = ba.

• Symmetrisch: Aus (a, b) ∼ (c, d) folgt (c, d) ∼ (a, b).

Denn aus ad = bc folgt cb = da.

• Transitiv: Aus (a, b) ∼ (c, d) und (c, d) ∼ (e, f ) folgt (a, b) ∼ (e, f).

Sei ad = bc und cf = de. Dann gilt c = de/f und damit ad = bde/f . Also folgt adf = bde und damit af = be. (Beachte dabei, daß d 6= 0 und f 6= 0 gilt und daher durch d und f geteilt werden darf.)

(b) Definiere ϕ : X → M durch ϕ((0, b)) = (0, 1) und f¨ur a 6= 0 durch ϕ((a, b)) = (a/ggT (a, b), b/ggT (a, b)). Dann ist ϕ wohldefiniert. Weiter ist ϕ surjektiv, da ϕ((a, b)) = (a, b) f¨ur jedes (a, b) ∈ M gilt. Sei (a, b) ∈ M . Dann ist ϕ((c, d)) = (a, b) genau dann, wenn (c, d) ∼ (a, b) gilt. Damit induziert ϕ eine Bijektion auf den ¨ Aquivalenzklassen von R.

Aufgabe 7.

Es sei 6 N

= {0, 6, 12, . . .} = {6x | x ∈ N

}. Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen wohldefiniert, injektiv oder surjektiv ist.

(a) h : N

→ N

: x 7→ x

− x.

(b) k : N → 6 N

: x 7→ x

− x.

L¨ osung:

(a) • h ist wohldefiniert: Sei x ∈ N

. Dann ist x

− x ∈ N

, denn x

− x =

x(x + 1)(x − 1) ist eine ganze Zahl und x(x − 1)(x + 1) ≥ 0, da x ≥ 0,

x + 1 ≥ 0 und x − 1 ≥ 0 f¨ur x ≥ 1 gilt.

• h ist nicht injektiv: Es gilt h(0) = h(1) = 0.

• h ist nicht surjektiv: Sei h(x) = 1. Dann gilt x(x + 1)(x − 1) = 1. Da x, x + 1, x − 1 alles ganze Zahlen sind, w¨urde x | 1 und damit x = 1 folgen. Aber h(1) = 0 und das ist ein Widerspruch. Also existiert kein x ∈ N

mit h(x) = 1.

(b) • k ist wohldefiniert: Sei x ∈ N

. Falls x = 0, so ist x

− x = 0 ∈ 6 N

. Falls x 6= 0, so ist x

− x = x(x − 1)(x + 1) und x, x − 1, x + 1 ∈ N

. Eine der drei Zahlen x, x − 1, x + 1 ist durch 3 teilbar. Mindestens eine der drei Zahlen x, x − 1, x + 1 ist gerade und damit durch 2 teilbar. Insgesamt ist x(x − 1)(x + 1) durch 6 teilbar und damit gilt x

− x ∈ 6 N

. Also ist k wohldefiniert.

• k ist injektiv: F¨ur x < y ∈ N folgt k(x) = x(x + 1)(x − 1) < y(y + 1)(y − 1) = k(y).

• k ist nicht surjektiv: Sei k(x) = 12 = x(x − 1)(x + 1). Dann ist x 6= 0 und x ≤ 12. Es gilt k(1) = 0, k(2) = 6 und k(3) = 24. Da k(x) < k(y) f¨ur x < y ∈ N , folgt damit 12 6∈ Bild(k).

Aufgabe 13.

Sei

f : R \ { 1

2 } → R : x 7→ 3x + 4 2x − 1 .

Zeigen Sie, daß f injektiv ist und bestimmen Sie Bild(f). Bestimmen Sie die Abbildung g : Bild(f ) → R \ {

} mit g ◦ f = id.

L¨ osung:

• f ist injektiv, denn

(3x + 4)/(2x − 1) = (3y + 4)/(2y − 1)

⇔ (3x + 4)(2y − 1) = (3y + 4)(2x − 1)

⇔ 6xy − 3x + 8y − 4 = 6xy − 3y + 8x − 4

⇔ −3x + 8y = −3y + 8x

⇔ 3x + 8x = 3y + 8y

⇔ 11x = 11y

⇔ x = y

• Zeige: Bild(f) = R \ {3/2}.

1. Schritt: Sei y ∈ R \ {3/2}. Schreibe y = (3x + 4)/(2x − 1). Dann

folgt y(2x − 1) = (3x + 4) und damit 2xy − y − 3x + 4 = 0. Das liefert x(2y − 3) = y − 4 und damit x = (y − 4)/(2y − 3), falls y 6= 3/2. Also gilt y ∈ Bild(f ).

2. Schritt: Sei y ∈ Bild(f ). Dann gilt y ∈ R . Zeige also noch, daß y 6= 3/2 gilt. Annahme: y = 3/2 = (3x + 4)/(2x − 1). Dann folgt 3x + 4 = 3x − 3/2 und damit 4 = −3/2. Das ist ein Widerspruch und es folgt y ∈ R \ {3/2}.

• Definiere g : R \ {3/2} → R durch g(y) = (y − 4)/(2y − 3) wie in der Bestimmung von Bild(f ).

Aufgabe 19.

Seien f : M → N und g : N → M und h : N → M drei Abbildungen. Zeigen Sie: ist f surjektiv und gilt g ◦ f = h ◦ f, so folgt g = h.

L¨ osung: Sei y ∈ N . Dann existiert ein x ∈ M mit f(x) = y. Es gilt dann g(y) = g(f(x)) = h(f (x)) = h(y). Daher ist g = h.

Aufgabe 25.

Welche der folgenden Strukturen sind Monoide oder Gruppen?

(a) ( N , +) oder ( N , ·) oder ( Z , +) oder ( Z , ·).

(b) Z × N mit (a, b) ◦ (c, d) = (ad + bc, bd).

L¨ osung:

• ( N , +) ist kein Monoid (es fehlt das neutrale Element bez¨uglich +).

• ( N , ·) ist ein Monoid (mit neutralem Element 1), aber keine Gruppe, denn 2 hat kein Inverses.

• ( Z , +) ist eine Gruppe (mit neutralem Element 0).

• ( Z , ·) ist ein Monoid (mit neutralem Element 1), aber keine Gruppe, denn 2 hat kein Inverses.

• Z × N mit (a, b) ◦ (c, d) = (ad + bc, bd) ist ein Monoid, aber keine Gruppe:

(1) ◦ ist assoziativ:

((a, b) ◦ (c, d)) ◦ (e, f ) = (ad + bc, bd) ◦ (e, f )

= ((ad + bc)f + bde, bdf )

= (adf + bcf + bde, bdf )

= (a, b) ◦ (cf + de, df )

= (a, b) ◦ ((c, d) ◦ (e, f ))

(2) (0, 1) ist neutrales Element:

(0, 1) ◦ (a, b) = (0b + 1a, 1b) = (a, b) f¨ur alle (a, b).

(3) E( Z × N ) = {(a, 1) | a ∈ Z } 6= Z × N , mit (a, 1)

= (−a, 1). Aber

zum Beispiel (1, 2) hat kein Inverses.