2. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Sei

2. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Sei X = Z × N und M = {(a, b) ∈ X | a 6= 0 und ggT (a, b) = 1} ∪ {(0, 1)}.

Definiere die Relation R auf X durch

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.

(a) Zeigen Sie, daß R eine ¨ Aquivalenzrelation ist.

(b) Zeigen Sie, daß die ¨ Aquivalenzklassen von R in Bijektion zu M stehen.

Aufgabe 7.

Es sei 6 N

= {0, 6, 12, . . .} = {6x | x ∈ N

}. Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen wohldefiniert, injektiv oder surjektiv ist.

(a) h : N

→ N

: x 7→ x

− x . (b) k : N → 6 N

: x 7→ x

− x.

Aufgabe 13.

Sei

f : R \ { 1

2 } → R : x 7→ 3x + 4 2x − 1 .

Zeigen Sie, daß f injektiv ist und bestimmen Sie Bild(f) sowie die Abbildung g : Bild ( f ) → R \ {

} mit g ◦ f = id .

Aufgabe 19.

Seien f : M → N und g : N → M und h : N → M drei Abbildungen. Zeigen Sie: ist f surjektiv und gilt g ◦ f = h ◦ f, so folgt g = h.

Aufgabe 25.

Welche der folgenden Strukturen sind Monoide oder Gruppen?

(a) ( N , +) oder ( N , ·) oder ( Z , +) oder ( Z , ·).

(b) Z × N mit (a, b) ◦ (c, d) = (ad + bc, bd).

Abgabe: Dienstag,den 13. Mai 2014, vor der Vorlesung.