4. ¨Ubung zur Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Sei

4. ¨ Ubung zur Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Sei n ∈ N und Z

= { 0, . . . , n − 1 } . F¨ur x, y ∈ Z

sei

x ⊕ y := (x + y) mod n und x ⊙ y := (x · y) mod n.

Zeigen Sie, daß Z

mit den Verkn¨upfungen ⊕ und ⊙ ein Ring ist.

Aufgabe 2.

Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstafeln von Z

auf und bestim- men Sie damit die Einheiten und die Nullteiler von Z

. Welche Ideale hat Z

? Ist Z

ein K¨orper?

Aufgabe 3.

Sei i = √

− 1 und R = { a + bi | a, b ∈ Z } . (1) Zeigen Sie, daß R ein Ring ist.

(2) Zeigen Sie, daß E(R) = { 1, − 1, i, − i } gilt.

(3) Hat R Nullteiler?

Aufgabe 4.

Sei K = Z

und sei V = K × K = { (a, b) | a, b ∈ K } . Dann definiert (a, b) ⊕ (c, d) = (a ⊕ c, b ⊕ d)

eine Addition auf V . Es gibt Multiplikation ⊙ auf V , so daß V mit ⊕ und

⊙ zu einem K¨orper wird, wobei (1, 0) das neutrale Element bez¨uglich ⊙ ist.

Bestimmen Sie diese Multiplikation.

Aufgabe 5.

Bestimmen Sie Real- und Imagin¨arteil der folgenden komplexen Zahlen:

(a) (7 + 3i)(1 − i).

(b) (1 − 3i)/(2 − i).

(c) (1 + 7i) − (2 − 2i).

(d) (3 + 5i) + (2 − i).

Abgabe: Dienstag,den 17. Juni 2014, vor der Vorlesung.