x ∗ x , x 6= (0, . . . , 0) t , der kleinste und gr¨ oßte Eigenwert von S .

Rayleigh-Quotient

F¨ ur eine hermitesche positiv definite Matrix S (S ^∗ = S, x ^∗ Sx > 0 f¨ ur x 6= (0, . . . , 0) ^t ) sind die Extremwerte des sogenannten

Rayleigh-Quotienten

r _S (x) = x ^∗ Sx

x ^∗ x , x 6= (0, . . . , 0) ^t , der kleinste und gr¨ oßte Eigenwert von S .

Insbesondere gilt f¨ ur die der euklidischen Norm zugeordneten Matrix-Norm kS k ₂ = max

x r S (x) = λ max , kS ⁻¹ k ₂ = 1/ min

x r S (x) = 1/λ min .

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Beweis

Transformation auf Diagonalform mit unit¨ arer Matrix U = (u ₁ , · · · , u _n ) aus Eigenvektoren

U ^∗ SU = D, D = diag(λ ₁ , . . . , λ _n ), Su _k = λ _k u _k mit λ _k ∈ R S positiv definit = ⇒

λ _k = u _k ^∗ Su k

u _k ^∗ u _k = u ^∗ _k λu k

u _k ^∗ u _k > 0 und o.B.d.A. λ 1 ≥ · · · ≥ λ n

Substitution von S = UDU ^∗ und x = Uy r _S (x) = x ^∗ Sx

x ^∗ x = (Uy) ^∗ UDU ^∗ Uy y ^∗ (U ^∗ U)y =

U

U=E

P

k λ _k |y _k | ² P

k |y _k | ² λ _k > 0 = ⇒

λ min ≤ r S (x) ≤ λ max

mit Gleichheit f¨ ur y = e n und y = e 1

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Beispiel

Rayleigh-Quotient der Matrix S =

3 2 2 3

Invarianz des Rayleigh-Quotienten r s (x) unter Skalierung (x → λx) o.B.d.A. x = (cos t, sin t) ^t

x ^∗ x = |x| ² = 1 = ⇒ r (x) = x ^∗ Sx

x ^∗ x = 3 cos ² t + 4 cos t sin t + 3 sin ² t = 3 + 2 sin(2t) Extrema

0 = 4 cos(2t) ^! = ⇒ t ∈ {±π/4 + kπ/2 : k ∈ Z } kleinster und gr¨ oßter Eigenwert

λ + = max

x r _S (x) = 3 + 2 sin( π

2 ) = 5, λ − = min

x r _S (x) = 3 + 2 sin(− π 2 ) = 1

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Kontrolle mit Hilfe der Identit¨ aten f¨ ur Determinante und Spur 9 − 4 = det A = λ ₊ λ − = 5 · 1,

3 + 3 = Spur A = λ ₊ + λ − = 5 + 1

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