(1)Positiv definite Matrizen Eine quadratische Matrix Aist positiv definit, falls v∗Av >0 ∀v 6= (0

Positiv definite Matrizen

Eine quadratische Matrix Aist positiv definit, falls v^∗Av >0 ∀v 6= (0, . . . ,0)^t (v^∗ =v^t f¨ur reelle Vektoren).

Ist v^∗Av lediglich nicht-negativ, so bezeichnet manAals positiv semidefinit.

Eine positiv definite MatrixA hat ausschließlich positive Diagonalelemente und Eigenwerte. Insbesondere ist Ainvertierbar und die Inverse ist

ebenfalls positiv definit.

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Beweis

(i) Diagonalelemente:

g_j,k =e_j^t Ae_k

|{z}

Spaltek

>0

(ii) Eigenwerte:

Av =λv =⇒ 0<v^∗Av =v^∗(λv) =λ|v|²

=⇒ λ >0

(iii) Inverse:

Eigenwerte >0 =⇒ Existenz vonA⁻¹ und v^∗A⁻¹v = (AA⁻¹v)^∗A⁻¹(A A⁻¹v

| {z }

w

) =w^∗A^∗w = (w^∗Aw

| {z }

>0

)^∗>0

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Beispiel

Gramsche Matrix G einer Basis {v₁, . . . ,vn}:

gj,k =hv_j,vki G ist positiv definit, da

x^∗Gx =X

j,k

x_jg_j,kx_k =D X

j

x_jv_j

| {z }

u

,X

k

x_kv_kE

=hu,ui>0

f¨ur u 6= 0 ⇐⇒ x6= (0, . . . ,0)^t Hilbert Matrix:

Basis p_k : x7→x^k,k = 0, . . . ,n, f¨ur Polynome vom Grad ≤n, Skalarprodukt hf,gi=R1

0 f(x)g(x)dx G : gj,k =hp_j,pki=

Z 1

0

x^jx^kdx = 1 1 +j+k

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