Universit¨at Heidelberg
Interdisziplin¨ares Zentrum f¨ur Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Andreas Potschka
Ubungsblatt 11¨
Einf¨uhrung in die Numerik, Sommersemester 2017
Klausurrelevante Themen
Allgemeine Hinweise:
• Aussagen von S¨atzen, die unten erw¨ahnt werden, k¨onnten in voller mathematischer Pr¨azision abgefragt werden.
• Beweise und Beweisideen werden nicht abgefragt.
• Verfahren, die unten mit einem Sternchen ? gekennzeichnet sind, sollten sie in Python-Code erkennen k¨onnen.
1. Grundlagen
• Normaxiome, Skalarproduktaxiome
• Definition symmetrische, positiv-definite Matrix
• Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer, positiv-definiter Matrizen
• (vertr¨agliche, nat¨urliche) Matrizennormen; Zeilensummen-, Spaltensummen-, Spektralnorm
• Spektralradius, Konditionszahl einer Matrix
• Ahnlichkeitstransformationen, Invarianz der Eigenwerte¨ 2. Fehleranalyse
• Gleitkommazahlen, GleitkommagitterA(b, r, s), Maschinengenauigkeit eps, Rundungsfeh- ler
• Konditionierung einer numerischen Aufgabe, Konditionszahlen kij
• Stabilit¨at eines numerischen Algorithmus
• Ausl¨oschung
• Horner-Schema?
3. Interpolation und Approximation
• Lagrangesche Interpolationsaufgabe, Existenz und Eindeutigkeit von L¨osungen
• Lagrange-Polynome, Eigenschaften
• Newtonsche Basispolynome, dividierte Differenzen?
• Darstellungen des Interpolationsfehlers
• Hermitesche Interpolationsaufgabe
• Extrapolation zum Limes, Extrapolationsfehler
• Spline-Interpolation, Bedingungen, Approximationsfehler
• Gauß-Approximation, Satz ¨uber Existenz und Eindeutigkeit einer Best-Approximation
• Gram–Schmidt-Algorithmus? 4. Numerische Integration
• Interpolatorische Quadraturformeln
• Ordnung einer Quadraturformel, Ordnung interpolatorischer Quadraturformeln
• Aquidistante St¨¨ utzstellen: Newton–Cotes-Formeln?(Mittelpunkt-, Trapez-, Simpson-Regel, keine Konvergenz f¨urn→ ∞)
• Summierte Quadraturformeln?
• Gauß-Quadratur? (Wahl der St¨utzstellen, Legendre-Polynome, Ordnung, Positivit¨at der Gewichte, Konvergenz f¨urn→ ∞)
5. Lineare Gleichungssysteme: Direkte Verfahren
• St¨orungssatz, Rolle der Konditionszahl der Systemmatrix (Genauigkeitsverlust)
• L¨osung von Dreieckssystemen? (Vorw¨arts-, R¨uckw¨artseinsetzen), Aufwand
• Gauß-Elimination, LR-Zerlegung?, Spaltenpivotierung, Aufwand
• Symmetrische, positiv-definite Systeme: Cholesky-Zerlegung?, keine Pivotierung, Aufwand
• Least-Squares-L¨osungen, Existenz und Bedingung f¨ur Eindeutigkeit, Normalengleichung (Konditionszahl)
• QR-Zerlegung, L¨osung von Least-Squares-Problemen mit Vollrang?
• Householder-Transformationen, Rolle im Householder-Verfahren, Ergebnis des Householder- Verfahrens
6. Nichtlineare Gleichungen
• n= 1: Intervallschachtelung/Bisektionsverfahren
• Lineare, superlineare, quadratische Konvergenz
• Newton-Verfahren? im Rn
• Satz von Newton–Kantorovich (lokale, quadratische Konvergenz)
• Sukzessive Approximation?, Konvergenzgeschwindigkeit
• Spezialfall: Newton-Verfahren f¨ur affin-linearesf(x) =Ax−b (Einschrittkonvergenz) 7. Lineare Gleichungssysteme: Iterative Verfahren
• Fixpunktiteration?, Konvergenzaussage
• Jacobi-Verfahren?, Gauß–Seidel-Verfahren?, SOR-Verfahren?
• Starkes Zeilensummenkriterium
• Konvergenz von Gauß–Seidel- und SOR-Verfahren f¨ur symmetrische, positiv-definite Ma- trizen
• Allgemeines Abstiegsverfahren?, exakte Liniensuche
• Gradientenverfahren, Konvergenzgeschwindigkeit
• CG-Verfahren, Konvergenzgeschwindigkeit
• Vorkonditionierung 8. Matrizeneigenwertaufgaben
• Satz von Gerschgorin
• Stabilit¨atssatz
• Potenzmethode?, inverse Iteration?
• Hessenberg-Normalform mit Householder-Transformationen
• QR-Verfahren
Viel Erfolg beim Lernen f¨ur die Klausur.
Webseite:
http://typo.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mobocon/teaching/numerik-0-ss17
