Eigenvektoren einer Matrix A ∈ K

(1)

6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor

Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung. Ist λ ∈ K und v ∈ V mit v 6= 0 und f (v ) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f , und v heißt Eigenvektor (EV) von f . Spricht man von Eigenwerten bzw.

Eigenvektoren einer Matrix A ∈ K

^n×n

, so meint man die Eigenwerte/Eigenvektoren der durch A induzierten Abbildung f

_A

(v) = Av. Zu einem gegebenen Eigenwert λ heißt U = {v ∈ V | f(v) = λv} Eigenraum zum Eigenwert λ, und man schreibt U = Eig(f, λ) bzw. U = Eig(A, λ).

Beispiel 6.2.

Satz 6.3. Der Eigenraum Eig(f, λ) einer linearen Abbildung f : V → V zu einem Eigenwert λ ∈ K ist ein Untervektorraum von V .

Beweis.

(2)

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

Satz 6.4. (i) Eine Zahl λ ist Eigenwert einer Matrix A, genau dann, wenn det(A − λ · E

_n

) = 0.

(ii) Der Ausdruck det(A − λE

n

) ist ein Polynom in λ und heißt charakteristisches Polynom von A und wird mit χ

_A

(λ) = det(A − λE

_n

) bezeichnet.

(iii) Es gilt χ

_A

(λ) = (−λ)

ⁿ

+ Spur(A)(−λ)

ⁿ⁻¹

+ · · ·+ det(A). Hier bei ist die Spur einer Matrix Spur(A) = P

n

i=1

a

_ii

die Summe ihrer Diagonalelemente.

Beweis.

Beispiel 6.5.

Definition 6.6. In der Zerlegung χ

_A

(λ) = Q

r

k=1

(λ − λ

_k

)

^m^k

des charakteristischen Po- lynoms in Linearfaktoren (in C , alternativ in lineare und quadratische Faktoren in R ) sind λ

_k

die Eigenwerte von A, und m

_k

ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ

_k

.

Satz 6.7. Es sei A ∈ K

^n×n

eine Matrix mit dem Eigenwert λ.

(i) Der Eigenraum Eig(A, λ) ist die L¨ osungsmenge des linearen Gleichungssystems (A − λE

_n

)x = 0. Das heißt, der Eigenraum ist der Kern der Abbildung f

A−λEn

. (ii) Die Dimension des Eigenraums Eig(A, λ) ist q = Dim(Eig(A, λ) = n − Rang(A −

λE

_n

). Die Zahl q heißt geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ.

Beweis.

(3)

Beispiel 6.8.

Satz 6.9. (i) Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwert ist immer kleiner gleich seiner algebraischen Vielfachheit.

(ii) Sind λ

₁

, . . . , λ

_r

verschiedene Eigenwerte einer Matrix A und v

₁

, . . . , v

_r

zugeh¨ orige Eigenvektoren, so ist die Menge {v

₁

, . . . , v

_r

} linear unabh¨ angig.

Beispiel 6.10.

6.2 Basiswechsel und Diagonalisierbarkeit

Definition 6.11. Zwei Matrizen A, B ∈ K

^n×n

heißen ¨ ahnlich, wenn einer regul¨ are Matrix T existiert, so dass

AT = T B, bzw. A = T BT

⁻¹

, bzw. B = T

⁻¹

AT.

Satz 6.12. Zueinander ¨ ahnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom, und damit die gleichen Eigenwerte.

Beweis.

Satz 6.13. Ist A die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f : K

ⁿ

→ K

ⁿ

in der

kanonischen Basis E

_n

= (e

₁

, e

₂

, . . . , e

_n

), so ist die Matrix B

⁻¹

AB die Darstellungsmatrix

von f in der Basis B = (b

₁

, b

₂

, . . . , b

_n

). Mit der Schreibweise B = (b

₁

, b

₂

, . . . , b

_n

) ist

einerseits die geordnete Basis mit den Vektoren b

₁

, . . . , b

_n

, und andererseits die Matrix

mit den Spalten b

₁

, . . . , b

_n

gemeint.

(4)

6 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel 6.14.

Definition 6.15. Eine Matrix A ∈ K

^n×n

heißt diagonalisierbar, wenn es eine Matrix B ∈ K

^n×n

gibt, so dass B

⁻¹

AB eine Diagonalmatrix ist, d.h., wenn diese Matrix nur auf der Diagonalen Eintr¨ age ungleich Null hat (a

_ij

= 0 f¨ ur i 6= j ).

Satz 6.16. (i) Eine Matrix A ist diagonalisierbar, genau dann, wenn eine Basis des K

ⁿ

aus Eigenvektoren von A existiert. Die Matrix B ist dann die Matrix, die entsteht, wenn man als Spalten die Basisvektoren nimmt (vgl. Satz 6.13).

(ii) Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren von A, wenn die geometrische Vielfach- heit jedes Eigenwerts gleich seiner algebraischen Vielfachheit ist.

Beispiel 6.17.

Definition 6.18. Eine Matrix A ∈ C

^n×n

heißt hermitesch, wenn ¯ A

^>

= A (d.h. a

_ij

= ¯ a

_ji

f¨ ur i 6= j ) ist. Eine Matrix A ∈ R

^n×n

heißt symmetrisch, wenn A

^>

= A ist (d.h. reelle hermitesche Matrizen sind symmetrisch).

Satz 6.19. (i) Hermitesche Matrizen besitzen nur reelle Eigenwerte.

(ii) Aus a) folgt, dass das charakteristische Polynom einer reellen symmetrischen Ma- trix in Linearfaktoren zerlegt werden kann.

(iii) Sind λ, µ zwei verschiedene Eigenwerte einer symmetrischen Matrix, so sind die

zugeh¨ origen Eigenvektoren zueinander senkrecht.

(5)

Satz 6.20. Ist A ∈ R

^n×n

symmetrisch, so existiert eine Orthonormalbasis B, so dass die Darstellungsmatrix BAB

⁻¹

der Abbildung f

_A

bez¨ uglich der Basis B eine Diagonalmatrix ist. Ist B eine Orthonormalbasis, so ist B

⁻¹

= B

^>

.

Beispiel 6.21.

Bemerkung 6.22 (Vgl. Aufgaben V 9.3, S 9.6a)). Es sei A ∈ K

^n×n

eine Matrix, D = diag(d

₁

, d

₂

, . . . , d

_n

) ∈ K

^n×n

sei eine Diagonalmatrix, und B ∈ K

^n×n

sei invertierbar, so dass A = BDB

⁻¹

gilt. F¨ ur nat¨ urliche Zahlen k ∈ N ist die k-te Potenz einer Matrix definiert als A

^k

= Q

k

i=1

A = A · A · · · · · A, und A

⁰

= E

_n

. Damit kann man Matrizen in Polynome und in Potenzreihen einsetzen. Insbesondere ist exp(A) = P

∞

k=0 1 k!

A

^k

. (i) F¨ ur jedes k ∈ N gilt: A

^k

= BD

^k

B

⁻¹

.

(ii) F¨ ur jedes k ∈ N gilt: D

^k

= diag(d

^k₁

, d

^k₂

, . . . , d

^k_n

).

(iii) Es ist exp(A) = B · diag(e

^d¹

, e

^d²

, . . . , e

^dⁿ

) · B

⁻¹

.

6.3 Definitheit von Matrizen

Definition 6.23. Eine Matrix A ∈ K

^n×n

heißt

positiv semidefinit , wenn f¨ ur alle Vektoren x ∈ K

ⁿ

gilt x

^>

Ax ≥ 0, positiv definit , wenn f¨ ur alle Vektoren x ∈ K

ⁿ

, x 6= 0 gilt x

^>

Ax > 0,

negativ semidefinit , wenn f¨ ur alle Vektoren x ∈ K

ⁿ

gilt x

^>

Ax ≤ 0 (d.h. wenn −A positiv semidefinit ist),

negativ definit , wenn f¨ ur alle Vektoren x ∈ K

ⁿ

, x 6= 0 gilt x

^>

Ax > 0 (d.h. wenn −A positiv definit ist).

Die obigen Definitionen k¨ onnen jeweils auf eine Teilmenge des K

ⁿ

eingeschr¨ ankt werden:

Eine Matrix A heißt z.B. positiv definit ¨ uber einer Menge M ⊂ R

ⁿ

, wenn die obige

Bedingung f¨ ur alle x ∈ M gilt.

(6)

6 Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiel 6.24.

Satz 6.25. Eine reelle symmetrische Matrix ist positiv definit, genau dann, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind, und positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte gr¨ oßer gleich Null sind.