4.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

4.4 Normalformen

4.4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum

Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer quadratischen Matrix A Av = λv, v 6 = 0 Eigenraum: V

= Kern(A − λE)

Ahnlichkeitstransformation ¨

Basiswechsel

A → B = Q

AQ erh¨alt Eigenwerte

v Eigenvektor von A ⇔ w = Q

v Eigenvektor von B

Charakteristisches Polynom

p

(λ) = det(A − λE) =

a

− λ a

. . . a

a

a

− λ . . . a

... ... . .. ...

a

a

. . . a

− λ

= (λ

− λ) · · · (λ

− λ) Eigenwerte λ

: Nullstellen von p

X

k=1

λ

= Spur A, Y

k=1

λ

= det A

Eigenvektoren v: nicht-triviale L¨osungen des homogenen linearen Gleichungssystems (A − λE)v = 0

Konstruktion einer Basis f¨ur den Eigenraum V

= Kern(A − λE) durch Transformation auf Zeilenstufen- form

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Algebraische und geometrische Vielfachheit

algebraische Vielfachheit m

: Ordnung der Nullstelle des charakteristischen Polynoms p

(λ) = det(A − λE

)

geometrische Vielfachheit d

: Dimension des Eigenraums V

= Kern(A − λE

) Beziehungen zwischen m und d

d

≤ m

, X

λ

m

= n, d

= n − Rang(A − λE )

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