Mathematik 2 C SS 2006 L¨ osung

Mathematik 2 C SS 2006 L¨ osung

zur 4. Aufgabe

zu 1.

y=ax²+bx+c mit y(0) = 0 ⇒ c= 0 ⇒ y=ax²+bx F(a, b) :=

X5

i=1

yi−ax²_i −bxi

²

→min

∂F

∂a =X

2 yi−ax²_i −bxi

(−x²_i)= 0^! ⇒ X

yix²_i −ax⁴_i −bx³_i ^!

= 0

∂F

∂b =X

2 yi−ax²_i −bxi

(−xi)= 0^! ⇒ X

yixi −ax³_i −bx²_i ^!

= 0 f¨uhrt auf das Gleichungssystem in Kurzschreibweise

a

[

]

[

]

[

]

a

[

]

[

]

[

]

x y x² x³ x⁴ xy x²y

1 2 1 1 1 2 2

2 3 4 8 16 6 12

3 3 9 27 81 9 27

3 4 9 27 81 12 36

5 4 25 125 625 20 100 14 16 48 188 804 49 177

804a+ 188b= 177 188a+ 48b = 49 ,→a .

=−0.2204, b .

= 1.8842 y=−0.2204x²+ 1.8842x

P₀

P₅

P₁ P₂

P₃ P₄ y

1

1 8,55 x

Zweite Nullstelle: y=x(−0.2204x+ 1.8842) = 0 ⇒ x_n = ¹_0.2204^.8842 = 8.547

zu 2. Formel f¨ur die Dichte ρ des quadratischen Prismas:

ρ= _{V olumen}^Masse = m

a²h ≈ 162.4 1.2²·23.3

= 4.84 [g/cm. ³] Fehlerfortpflanzung:

sρ= s

1 a²h

² s²_m+

−2m a³h

² s²_a+

−m a²h²

² s²_h

= s

1 1.2² ·23.3

²

0.2²+

−2·162.4 1.2³·23.3

²

0.01²+

−162.4 1.2²·23.3²

²

0.05² .

= 0.0816 Die mittlere Dichte des Materials betr¨agt somit etwa 4.84±0.082 [g/cm³]

Anmerkung: Dierelative Meßgenauigkeit betr¨agt ^100%4.^·84^0.082 ≈1.7%

zu 3. Division der Gleichung durch x liefert die Standardform einer linearen Dgl.:

y⁰− ²_xy=x²− _x² (x6= 0) Allgemeine L¨osung:

y(x) = e^{R 2xdx}

C+ Z

x²− ²_x

e^{−R 2xdx}dx

= e^{2 lnx}

C+ Z

x² −_x²

e^{−2 lnx}dx

= e^lnx2

C+ Z

x²− ²_x

e^lnx−2 dx

= x²

C+ Z

x²− ²_x

x⁻²dx

= x²

C+ Z

1−_x²3

dx

= x²

C+x+_x¹2

= Cx² +x³+ 1 Anfangswert eingesetzt:

y(1) =C+ 1 + 1 = 4 ⇒ C = 2 Spezielle L¨osung:

y(x) = 2x²+x³+ 1 ⇒ y(2) = 2·2²+ 2³+ 1 = 17

y⁰(1) kann bequem durch Einsetzen vonx= 1 undy= 4 in die Dgl. bestimmt werden:

1·y⁰(1)−2·4 = 1−2 ⇒ y⁰(1) = 7 zu 4.

My −Nx

−M = 4xy −(−4xy)

−2x(1 +y²) = 8xy

−2x(1 +y²) = −4y

1 +y² =g(y)

⇒ µ(y) = e

R ₋4y 1+y2 dy

= e^{R −u2du} = e^{−2 lnu} = u⁻² = 1 (1 +y²)²

⇒ 2x(1 +y²)

(1 +y²)² dx+1−2x²y+y²

(1 +y²)² dy= 0 ist exakte Dgl.

⇒ F(x, y) = Zx

x˜=0

2˜x

1 +y²d˜x+

Z 1−

0

z }| { 2˜x/ y0 +y² (1 +y²)² dy=

x˜² 1 +y²

x 0

+

Z dy 1 +y²

= x²

1 +y² + arctan(y) =C