Mathematik 1 C WS 2005/06 L¨ osung
zur 4. Aufgabe
1. Konvergenz: Anwendung desLeibniz-Kriteriums mit ak= k(k+1)1
• ak ist Nullfolge:
klim→∞ak= lim
k→∞
1
k(k+ 1) = 0
• ak ist monoton fallend:
ak+1−ak = 1
(k+ 1)(k+ 2)− 1
k(k+ 1) = k−(k+ 2)
k(k+ 1)(k+ 2) = −2
k(k+ 1)(k+ 2) <0 f¨ur allek >0 Absolute Konvergenz: Majorantenkriterium
1
k(k+ 1) ≤ 1
k2 f¨ur allekund
∞
X
k=1
1
k2 konvergiert ⇒
∞
X
k=1
1
k(k+ 1) konvergiert
2. (a)
f(x) = 3 q
x+√
x= x+√ x1/3
⇒f0(x) = 1 3 x+√
x−2/3
·
1 + 1 2√ x
= 2√
x+ 1 63
q
(x+√x)2√ x
(b)
1 xlnx
0
=−lnx+ 1 x2ln2x (c)
(e4xsinπx)0 = 4e4xsinπx+e4xcosπx·π=e4x(4 sinπx+πcosπx) (d)
sin (arccos(x))0
= cos (arccos(x))· −1
√1−x2 = −x
√1−x2
3. Wenn der Grenzwert existiert, gilt
lim ln2x
x−x12 = lim lnx x−x1
!2
Der Ausdruck in Klammern ist f¨urx→0 undx→ ∞von der Form”
∞
∞“ und f¨urx→1 vom Typ”
0 0“.
lim lnx x−x1
De L’H.
= lim
1 x
1 + x12 = lim 1 x+1x=
0 f¨urx→0
1
2 f¨urx→1 0 f¨urx→ ∞ Somit ergeben sich durch Quadrieren die gesuchten Grenzwerte 0, 14 und nochmals 0.
4.
f(x) =xp
1−x3=x(1−x3)1/2 Mit−x3=z ergibt sich mittelsBinomialreihe
(1 +z)1/2= 1 +
1 2
1!z±. . .= 1 +1 2z±. . . R¨uckeinsetzen liefert:
(1−x3)1/2= 1−1
2x3±. . . Multiplikation mitxf¨uhrt auf das Ergebnis
xp
1−x3=x−1
2x4±. . .
5. Exakte L¨osung:
sin2x+ 4 sinxcosx−cos2x = 0
: cos2x tan2x + 4 tanx − 1 = 0
Dies ist eine quadratische Gleichung in tanx:
tanx1,2=−2±√ 4 + 1
x= arctan(−2±√ 5) =
0.2318
−1.3390 (nicht im Intervall!) Newton-Verfahren:
xn+1 = xn− sin2xn+ 4 sinxncosxn−cos2xn
2 sinxncosxn+ 4 cos2xn−4 sin2xn−2 cosxn(−sinxn)
= xn− sin2xn+ 4 sinxncosxn−cos2xn
4 sinxncosxn+ 4 cos2xn−4 sin2xn
x0 = 0
x1 = 0 − 0 + 0 − 1
0 + 4 − 0 = 1
4 x2 = 1
4 − sin2(14) + 4 sin(14) cos(14)−cos2(14)
4 sin(14) cos(14) + 4 cos2(14)−4 sin2(14) = 0.2318
