Mathematik 2 C SS 2006 3. Aufgabe

Mathematik 2 C SS 2006 3. Aufgabe

Abgabe: Do. 8. Juni 2006

1. Zur Funktion

z(x, y) = e^x2y −xy² berechne man im Punkt P = (1,1)

(a) den Funktionswert

(b) die Richtung des st¨arksten Anstiegs der Funktion (c) den Wert dieses Anstiegs

(d) die Richtungsableitung der Funktion in Richtung (−1,2)^t

2. Man berechne den Wert des Integrals I

c

dx+ (y²−sinx+ 1)dy

wobei c der Rand jenes Gebiets ∈ R ist, das von den Kurven y = 2 und y = ^x₂² begrenzt wird (Skizze!), und der einmal im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

3. Zeigen Sie, daß das Kraftfeld

V~ =

2x(ye^y−6x) x²(1 +y)e^y +√y

durch Gradientenbildung aus einer Funktion Φ(x, y) entstanden ist, und bestimmen Sie Φ(x, y) so, daß Φ(1,0) =−1 gilt.

4. Zu dem Kraftfeld

P~(x, y, z) =





2xz−z² 2xy+z² x²+ 2yz





berechne man div(P~) und rot(P~).