Mathematik 2 C SS 2006 L¨ osung
zur 2. Aufgabe
zu 1. Uneigentliches Integral mit Problemstellen bei 1 und −1.
• Unbestimmtes Integral, Substitution x= sint,dxdt = cost⇒dx= cost dt:
Z x2dx
√1−x2 =
Z sin2tcost dt p1−sin2t =
Z sin2tcost dt cost =
Z
sin2t dt
= t−sintcost
2 +C = 1
2arcsinx− x 2
√1−x2+C
• Aufteilung bei x= 0: berechne zun¨achst rechtes Integral:
Z 1 0
x2dx
√1−x2 = lim
B→1
Z B 0
x2dx
√1−x2 = lim
B→1
1
2arcsin(x)− x 2
√1−x2 B
0
= 1
2arcsin(1)
| {z }
=π/2
−1 2
√1−1− 1
2arcsin(0)
| {z }
=0
+0√
1−0 = π 4
• Der Integrand √1x2
−x2 ist symmetrisch bzgl. x. Das zweite Integral (von−1 bis 0) hat also ganau den selben Wert wie oben. Somit ergibt sich insgesamt der doppelte Wert:
Z1
−1
x2dx
√1−x2 = π 2
zu 2. Die ben¨otigtenSt¨utzstellen ergeben sich aus der ¨aquidistanten Aufteilung des Intervalls in 4 Teilintervalle der L¨angeπ/8. Die zugeh¨origen Funktionswerte f(ϕ) =p
1 + cos2ϕ sind tabellarisch zusammengefaßt:
ϕ 0 0.3927 0.7854 1.1781 1.5708 f(ϕ) 1.4142 1.3615 1.2247 1.0707 1 (a)
2· 0.3927
2 · 1.4142 + 2·1.3615 + 2·1.2247 + 2·1.0707 + 1
≈3.8202 (b)
2· 0.7854
6 · 1.4142 + 4·1.3615 + 2·1.2247 + 4·1.0707 + 1
≈3.8203 zu 3. mit e als L¨angeneinheit:
• Eckdaten des Gebiets:
– die erste Ecke ist der Ursprung (Schnitt der Koordinatenachsen).
– Schnitt der Funktion mit der x−Achse (d.h. y= 0):
8−x√
x= 0 ⇒ x√
x= 8 ⇒ x3 = 64 ⇒ x= 4
– Schnitt der Funktion mit der y−Achse (d.h.x= 0):
8−0 = 8 ⇒ y= 8
• Fl¨ache:
A= Z4
0
8−x√
x dx=
8x− 2 5x2√
x 4
0
= 32− 64
5 = 19.2e2
• Bogenl¨ange: mit y= 8−x√
x ⇒ y0 = 32√ x
b = Z4
0
r
1 + 9x 4 dx=
"
4 9· 2
3
1 + 9x 4
32#4
0
= 8 27
√1000− 8 27
= 9.0734.
• Umfang = Bogenl¨ange + Abschnitt der x− und der y-Achse:
U = 9.0734 + 8 + 4 = 21.0734 e
• Skizze:
y
x 9.0734
19.2 8
4
zu 4. Aus den beiden z−Angaben folgt durch Gleichsetzen die Berandung des (geschlosse- nen) Bereichs: x2+y2 =b2 (Kreis mit Radius b)
V = Zb
x=−b
√b2−x2
Z
y=−√ b2−x2
Zh
z=h
b
√x2+y2
dz dy dx= Zb
x=−b
√b2−x2
Z
y=−√ b2−x2
h− h
b
px2+y2
dy dx . . .
Wesentlich einfacher als die Auswertung dieses Integrals ist die empfohlene ¨Uberf¨uhrung in Polarkoordinaten, da der Kreis mit Radius b dort durch die simplen Forderungen r= 0. . . bund ϕ = 0. . .2π abgedeckt werden kann:
V =
2π
Z
ϕ=0
Zb
r=0
h− h
br
rdr dϕ=h
2π
Z
ϕ=0
Zb
r=0
r−r2
b
dr dϕ=h
2π
Z
ϕ=0
r2 2 − r3
3b b
0
dϕ
=h
2π
Z
ϕ=0
b2
6 dϕ= hb2 6
ϕ
2π 0
= hb2π 3
