4. ¨Ubungsserie Statistik f¨ur Ingenieure WiSe 19/20: L¨osung

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4. ¨ Ubungsserie Statistik f¨ ur Ingenieure WiSe 19/20: L¨osung

2. Aufgabe Die Zeit X (in Minuten), die ein Fr¨ asvorgang ben¨ otigt, wird erfah- rungsgem¨ aß durch die folgende Dichte beschrieben:

f _X ( t ) = e ^{−(t−10,5)} ⋅ I _[10,5;∞) ( t )

= ⎧⎪⎪

⎨⎪⎪ ⎩

0 ∶ t < 10, 5

−(t−10,5) ∶ t ≥ 10, 5 d) Wie groß ist der Erwartungswert von X?

L¨ osung: F¨ ur die Berechnung des Erwartungswertes wird die Formel der partiellen Integration ben¨ otigt:

F¨ ur zwei stetig differenzierbare Funktionen f ∶ R → R und g ∶ R → R gilt

∫ _a ^b f ( x ) g ^′ ( x ) dx = f ( x ) g ( x )∣ ^b _a − ∫ _a ^b f ^′ ( x ) g ( x ) dx (0–1) Hierbei sind f ^′ und g ^′ die einfachen Ableitungen der Funktionen f und g.

F¨ ur stetige Zufallsvariablen gilt nun zun¨ achst die allgemeine Formel f¨ ur den Er- wartungswert

E [ X ] = ∫ _−∞ ^∞ xf _X ( x ) dx

Da die Dichtefunktion f _X ¨ uber Fallunterscheidungen definiert ist, berechnen wir das Integral wie folgt

∫

∞

−∞

xf _X ( x ) dx = ∫ _−∞ ^10,5 xf _X ( x ) dx + ∫ _10,5 ^∞ xf _X ( x ) dx

= ∫ _−∞ ^10,5 x ⋅ 0 dx

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

=0

+ ∫ _10,5 ^∞ x ⋅ e ^{−(x−10,5)} dx

= ∫ _10,5 ^∞ x ⋅ e ^{−(x−10,5)} dx

= lim

y→∞ (∫ _10,5 ^y x ⋅ e ^{−(x−10,5)} dx )

Nun wendet man die Formel (0–1) der partiellen Integration mit den Funktionen f ( x ) = x und g ^′ ( x ) = e ^{−(x−10,5)}

an. Einfaches ableiten bzw. Stammfunktion bilden dieser Funktionen ergibt

f ^′ ( x ) = 1 und g ( x ) = − e ^{−(x−10,5)} .

2

Man erh¨ alt

∫ _10,5 ^y x ⋅ e ^{−(x−10,5)} dx = ∫ _10,5 ^y f ( x ) ⋅ g ^′ ( x ) dx

= f ( x ) g ( x )∣ ^y _10,5 − ∫ _10,5 ^y f ^′ ( x ) g ( x ) dx

= x ⋅ (− e ^{−(x−10,5)} ) ∣ ^y _10,5 − ∫ _10,5 ^y 1 ⋅ (− e ^{−(x−10,5)} ) dx, wobei

x ⋅ (− e ^{−(x−10,5)} ) ∣ ^y _10,5 = − y ⋅ e ^{−(y−10,5)} − (− 10, 5 ⋅ e −(10,5−10,5) )

= − y ⋅ e ^{−(y−10,5)}

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

ÐÐ→ ⁰

+ 10, 5

ÐÐ→ y→∞ 0 + 10, 5 = 10, 5 und

∫ _10,5 ^y 1 ⋅ (− e ^{−(x−10,5)} ) dx = e ^{−(x−10,5)} ∣ ^y _10,5

= e ^{−(y−10,5)} − e −(10,5−10,5)

= e ^{−(y−10,5)}

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

ÐÐ→ ⁰

− 1

ÐÐ→ y→∞ 0 − 1 = − 1 Zusammengefasst erh¨ alt man

E [ X ] = lim

y→∞ (∫ _10,5 ^y x ⋅ e ^{−(x−10,5)} dx )

= lim

y→∞ ( x ⋅ (− e ^{−(x−10,5)} ) ∣ ^y _10,5 − ∫ _10,5 ^y 1 ⋅ (− e ^{−(x−10,5)} ) dx )

= 10, 5 − (− 1 )

= 11, 5.

◻