Statistik f¨ur Ingenieure 2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Statistik f¨ ur Ingenieure

2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Prof. Dr. Hans-J¨org Starkloff

TU Bergakademie Freiberg Institut f¨ur Stochastik

Wintersemester 2019/2020 letzte ¨Anderung: 22.10.2019

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2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.1 Zuf¨ allige Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten

I Zuf¨alliger Versuch (Zufallsexperiment, Zufallssituation): Vorgang unter genau festgelegten Bedingungen, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang oder Ergebnis (innerhalb einer Menge m¨oglicher Ergebnisse) ungewiß ist.

I Zufälliges Ereignis (kurzEreignis): Teilmenge möglicher Ergebisse, so dass man nach Realisierung des zufälligen Versuches entscheiden kann, ob es eingetreten ist oder nicht (sowie Idealisierungen).

I Bsp.:

Versuch Ereignis

Werfen eines Spielw¨urfels Werfen einer

”6“

Kontrolle einer Warenlieferung ≤3 Ausschussteile

I Bezeichnung von Ereignissen: A,B,A₁,A₂,B_i, . . ..

I Wichtig: Bei L¨osung von Aufgaben bzw. Modellierung genaue Definitionen der betrachteten zuf¨alligen Ereignisse !

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Zuf¨ allige Ereignisse

Geg.: zuf¨allige Ereignisse A,B,C,A1,A2, . . . zu einem Zufallsversuch.

I Zu A entgegengesetztes (komplement¨ares) Ereignis A^c =¬A=A

: tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt.

I Vereinigung A∪B: Aoder B (oder beide) treten ein;

analog:A1∪A2∪A3∪. . .: mindestens eines der Ereignisse A1,A2,A3, . . . tritt ein.

I Durchschnitt A∩B: A undB treten (gemeinsam) ein;

analog:A₁∩A₂∩A₃∩. . .: die Ereignisse A₁,A₂,A₃, . . . treten gemeinsam (bei einer Realisierung des Zufallsversuchs) ein.

I Sicheres Ereignis Ω: tritt immer ein (auch Ergebnisraumgenannt).

I Unm¨ogliches Ereignis ∅: tritt niemals ein.

I Aund B sind unvereinbar (sind disjunkt, schließen einander aus): sie k¨onnen nicht gemeinsam eintreten, d.h. A∩B =∅.

I Das Ereignis A zieht das Ereignis B nach sich, A⊆B: wenn A eintritt, dann tritt auch B ein.

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Einige Rechenregeln f¨ ur zuf¨ allige Ereignisse

I Das sichere Ereignis Ω kann als Menge der m¨oglichen Versuchsergebnisse aufgefasst werden, die Elemente sind die Elementarereignisse ω₁, ω₂, . . ..

I Rechenregeln wie in der Mengenlehre, Skizzen k¨onnen helfen.

I F¨ur alle Ereignisse A zu einem zuf¨alligen Versuch gilt: A⊆Ω .

I A∪B =B∪A, A∩B =B∩A (Kommutativit¨at).

I A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C (Assoziativit¨at).

I A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ,

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (Distributivit¨at).

I A∪A^c= Ω, A∩A^c=∅.

I Regeln von de Morgan: (analog auch f¨ur gr¨oßere Anzahl) (A∩B)^c=A^c∪B^c, (A∪B)^c=A^c∩B^c.

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Zerlegung (vollst¨ andiges Ereignissystem)

I Die zuf¨alligen Ereignisse A1,A2, . . . ,An bilden eineZerlegung von Ω (bilden einvollst¨andiges Ereignissystem), wenn bei jeder

Realisierung des Zufallsversuches genau eines der Ereignisse A1,A2, . . . ,An eintritt, d.h. die Ereignisse Ai sind paarweise unvereinbar (A_i∩A_j =∅, falls i 6=j) und es gilt

A1∪A2∪. . .∪An=

n

[

i=1

Ai = Ω (Fallunterscheidung).

I Einfachster Fall: Ω =A∪A^c f¨ur ein zuf¨alliges Ereignis A.

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Ubungsaufgabe ¨

Die Arbeit eines Kraftwerkes werde durch drei unabh¨angig voneinander arbeitende Kontrollsysteme (kurz

”Systeme“) überwacht, die jedoch auch einer gewissen Störanfälligkeit unterliegen. Es bezeichneS_i das Ereignis, dass das i-te System störungsfrei arbeitet (i = 1,2,3).

Dr¨ucken Sie folgende Ereignisse mit Hilfe der EreignisseS1,S2 und S3

aus:

I A . . .

”Alle Systeme arbeiten st¨orungsfrei.“

I B . . .

”Kein System arbeitet st¨orungsfrei.“

I C . . .

”Mindestens ein System arbeitet st¨orungsfrei.“

I D . . .

”Genau ein System arbeitet st¨orungsfrei.“

I E . . .

”H¨ochstens zwei Systeme sind gest¨ort.“

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Wahrscheinlichkeiten

I In einem stochastischen Modell wird jedem zuf¨alligen Ereignis zu einem Zufallsversuch eine Zahl zwischen 0 und 1 zugewiesen, die sogenannte Wahrscheinlichkeit (f¨ur das Eintreten des Ereignisses).

I Hintergrund: Eigenschaften der relativen H¨aufigkeiten

h_n(A) = H_n(A) n ,

mit Hn(A) als absolute Häufigkeit des Eintretens des zufälligen Ereignisses A in n unabhängigen Versuchswiederholungen.

I F¨ur A⊆B ⊆Ω gilt 0≤hn(A)≤hn(B)≤hn(Ω) = 1 .

I F¨ur A∩B =∅ gilt h_n(A∪B) =h_n(A) +h_n(B) .

I Erfahrungstatsache:

F¨ur n → ∞

”konvergiert“ h_n(A) oft gegen eine feste reelle Zahl (”Stabilisierung der relativen H¨aufigkeiten“).

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Stabilisierung der relativen H¨ aufigkeiten – Beispiel

Ergebnisse von 300 durchgeführten Würfen einer Reißzwecke auf einen Steinboden mit den beiden möglichen Ergebnissen

”Spitze nach oben“=b

”1“ und

”Spitze schr¨ag nach unten“=b

”0“.

Fortlaufend notierte relative H¨aufigkeiten f¨ur

”1“:

Quelle: N. Henze, Stochastik f¨ur Einsteiger, 2013, 10. Aufl., Kap. 4 .

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Axiome von Kolmogorow 1933

I Bezeichnung: P(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

I Axiome:

1. 0≤P(A)≤1 ; 2. P(Ω) = 1 ;

3. P(A1∪A2∪. . .) =P(A1) +P(A2) +. . ., falls die Ereignisse Ai

paarweise unvereinbar sind, d.h. Ai∩Aj =∅(i6=j) .

I Bemerkung: Jede Zuweisung der Wahrscheinlichkeitswerte zu den zufälligen Ereignissen zu einem Zufallsversuch, die diese Axiome erfüllt, ist aus mathematischer Sicht korrekt (unabhängig davon, ob sie die Realität gut beschreibt).

I Folgerungen:

P(A∪B) =P(A) +P(B), falls A∩B =∅ (Additionssatz);

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) ; P(A^c) = 1−P(A) ;

A⊆B ⇒ P(A)≤P(B).

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Beispielaufgabe

F¨ur die EreignisseAund B seien folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt:

P(A) = 0.25, P(B) = 0.45, P(A∪B) = 0.5 . Berechnen Sie

1. P(A∩B^c) 2. P(A^c∩B^c)

3. P((A∩B^c)∪(A^c∩B))

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Praktisch sichere und praktisch unm¨ ogliche Ereignisse

I Ein zuf¨alliges Ereignis A mit P(A) = 1 wird auchfast sicheres Ereignis genannt, ein Ereignis B mit P(B) = 0 einfast unm¨ogliches Ereignis.

I In Anwendungen spielen oft praktisch sicherebzw. praktisch unmögliche zufällige Ereignisse eine große Rolle, dies sind zufällige Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit nahe bei 1 bzw. nahe bei 0.

Bei einer einmaligen Realisierung eines Zufallsversuches kann man sich sehr sicher sein, dass ein praktisch sicheres Ereignis auch tatsächlich eintritt und ein praktisch unmögliches Ereignis auch tatsächlich nicht eintritt, dies kann aber nicht garantiert werden (auch allgemein bei fast sicheren bzw. fast unmöglichen Ereignissen).

I Wie nah der Wert der Wahrscheinlichkeit bei 1 bzw. 0 liegen sollte, h¨angt von der Situation (und den Folgen bei einer Fehlentscheidung) ab.

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Beispiel

Wirft man 1000 mal eine symmetrische Münze (oder 100 mal 10 gleichartige symmetrische Münzen), dann kann man recht sicher sein, dass die Anzahl der Fälle, in denen Wappen oben ist, zwischen 453 und 547 liegt (die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt ungefähr 0.997).

Eine 100%ig richtige Aussage ist jedoch nur derartig m¨oglich, dass die Anzahl der F¨alle, in denen Wappen oben ist, zwischen 0 und 1000 liegt.

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2.2 Klassische Wahrscheinlichkeiten ( Laplace -Modell)

I F¨ur Zufallsversuche mit

I endlich vielen m¨oglichen Versuchsergebnissen (n∈Nelementare Versuchsausg¨ange oder Elementarereignisse ω1, . . . , ωn),

I die alle gleichwahrscheinlich sind (keines wird bevorzugt, alle haben dieselbe Chance einzutreten).

I Beispiele:

I W¨urfeln mit einem fairen oder gerechten W¨urfel, n= 6, Elementarereignisse sind 1,2,3,4,5,6 .

I Zahlenlotto

”6 aus 49“ ,

n= Anzahl der m¨oglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen.

I Aus den Axiomen f¨ur Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige m¨ogliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation (die sogenannteklassische Wahrscheinlichkeitsdefinition).

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Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition

I F¨ur jedes der n Elementarereignisse ωk,k = 1, . . . ,n, gilt dann:

P({ω_k}) = 1 n.

I F¨ur ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen:

P(A) = Anzahl der Elementarereignisse in A

n bzw.

P(A) = Anzahl der für A günstigenFälle

Anzahlaller m¨oglichergleichwahrscheinlicher F¨alle.

I Beispiel: Zweimaliges W¨urfeln mit einem fairen W¨urfel, A={

”Augensumme mindestens 10“}.

I Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische Formeln genutzt.

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Das Paradoxon von de M´ er´ e

Der Franzosede Méré schaute oft beim Würfelspiel zu und beobachtete, dass beim gleichzeitigen Werfen dreier Spielwürfel als Augensumme die Zahl 11 (Ereignis A₁₁) häufiger als die Zahl 12 (EreignisA12) auftrat, obwohl beide Ergebnisse von seinem Standpunkt aus gleichwahrscheinlich zu sein schienen.

de Méré stellte nämlich folgende Überlegung an.

I M¨oglichkeiten f¨ur Augensumme 11: Kombinationen

6−4−1, 6−3−2, 5−5−1, 5−4−2, 5−3−3, 4−4−3.

I M¨oglichkeiten f¨ur Augensumme 12: Kombinationen

6−5−1, 6−4−2, 6−3−3, 5−5−2, 5−4−3, 4−4−4. Tats¨achlich gilt aber

P(A11) = 27

216 = 0.125>0.116≈ 25

216 =P(A12).

( )

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2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

I Häufig ist es nützlich, Bedingungen zu berücksichtigen, welche die Zufälligkeit einschränken.

I Beispiel: Zuf¨alliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne

I Insgesamt 11 weiße und 6 schwarze Kugeln;

I von den 17 Kugeln sind 8 Kugeln (6 weiße und 2 schwarze) markiert;

I die restlichen 9 Kugeln (5 weiße und 4 schwarze) sind unmarkiert.

I Ereignis S . . .

”gezogene Kugel ist schwarz“ ;

I Ereignis M . . .

”gezogene Kugel ist markiert“ ;

I Ereignis U . . .

”gezogene Kugel ist unmarkiert“ .

I Ohne Bedingung: P(S) = ₁₇⁶ , P(S ∩M) = ₁₇² , P(S ∩U) = ₁₇⁴ .

I Einschr¨ankung auf markierte Kugeln:

P(S|M) = ²₈, P(M) = ₁₇⁸ , d.h. P(S|M) = ^P(S∩M_P(M)⁾.

I Einschr¨ankung auf unmarkierte Kugeln:

P(S|U) = ⁴₉, P(U) = ₁₇⁹ , d.h. P(S|U) = ^P(S∩U)_P(U) .

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Allgemeine Definition bedingter Wahrscheinlichkeiten

I Bedingte Wahrscheinlichkeit von Aunter der Bedingung B:

P(A|B) = P(A∩B)

P(B) , falls P(B)6= 0. (A,B sind zuf¨allige Ereignisse zu einem Zufallsversuch.)

I Wichtig: Im Allgemeinen gilt P(A|B)6=P(B|A) !

I Bei fester Bedingung B kann man wie mit (unbedingten) Wahrscheinlichkeiten rechnen, z.B. P(A^c|B) = 1−P(A|B) .

I Diese Definition korrespondiert zu der H¨aufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten:

Hn(B) Versuchswiederholungen, bei denen B eingetreten ist;

darunter H_n(A∩B) Versuchswiederholungen, bei denen zus¨atzlich A eingetreten ist;

P(A|B)≈ Hn(A∩B)

Hn(B) = hn(A∩B)

hn(B) ≈ P(A∩B) P(B) .

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Multiplikationsregeln

I Multiplikationsregel: P(A∩B) =P(A|B)·P(B) .

I Erweiterte Multiplikationsregel: Sind A₁, . . . ,A_n zuf¨allige Ereignisse mit P(A1∩. . .∩An−1)>0 , dann gilt

P(A₁∩A₂∩. . .∩A_n) =P(A₁)·P(A₂|A₁)·P(A₃|A₁∩A₂)·

. . .·P(A_n|A₁∩A₂∩. . .∩An−1).

I In bestimmten F¨allen werden diese Formeln auch zur Definition der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten genutzt.

I Ubungsbeispiel:¨ In einer Urne befinden sich 7 rote und 3 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 4 Kugeln zuf¨allig ohne Zur¨ucklegen entnommen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Ereignis A, dass alle 4 gezogenen Kugeln rot sind?

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Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

I Berechnung der totalen (unbedingten) Wahrscheinlichkeit aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten als gewichtetes Mittel !

I Sei B1, . . . ,Bn eine Zerlegung von Ω mitP(Bi)6= 0,i = 1, . . . ,n. Dann gilt dieFormel der totalen Wahrscheinlichkeit: f¨ur ein beliebiges zuf¨alliges Ereignis A⊆Ω ist

P(A) =

n

X

i=1

P(A|B_i)P(B_i).

I Bei einer Zerlegung Ω =B∪B^c gilt

P(A) =P(A|B)P(B) +P(A|B^c)P(B^c).

I Im Beispiel mit dem Ziehen einer Kugel gilt

P(S) =P(S|M)·P(M) +P(S|U)·P(U), 6

17 = 2 8 · 8

17 +4 9· 9

17.

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Ubungsaufgabe ¨

Drei Zulieferer liefern eine Komponente zur Produktion eines Erzeugnisses im Anzahlverh¨altnis 5 : 3 : 2.

Die Fehlerquote betrage bei Komponenten der 1. Zulieferfirma 7%, bei Komponenten der 2. Zulieferfirma 4% und bei Komponenten der 3. Zulieferfirma 2%.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass eine aus der

Gesamtliefermenge rein zuf¨allig ausgew¨ahlte Komponente fehlerhaft ist ?

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Formel von Bayes

I Unter den Bedingungen des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit und unter der Voraussetzung P(A)>0 gilt dieFormel von Bayes

P(B_i|A) = P(A|B_i)P(B_i)

P(A) = P(A|B_i)P(B_i) Pn

j=1

P(A|B_j)P(B_j) .

I P(B_i) heißen aucha-priori-Wahrscheinlichkeiten (f¨ur die Ereignisse Bi) .

I P(B_i|A) heißen auch a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten,

sie liefern eine Korrektur der urspr¨unglichen Wahrscheinlichkeiten, wenn bekannt ist, dass das zuf¨allige Ereignis A eingetreten ist oder dies angenommen wird.

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Ubungsaufgabe ¨

Für die Situation der obigen Übungsaufgabe mit den 3 Zulieferbetrieben wurde eine Komponente aus der Gesamtzuliefermenge rein zufällig ausgewählt und überprüft.

Dabei wurde festgestellt, dass die Komponente defekt ist.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammte diese Komponente von der 1.

Zulieferfirma ?

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Beispiel Diagnoseverfahren

I Diagnoseverfahren liefern im Allg. nicht 100%ig richtige Ergebnisse:

I Ein Fehler wird nicht erkannt.

I Ein Fehler wird f¨alschlicherweise angezeigt.

I Resultierende Frage:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter und als fehlerhaft angezeigter Gegenstand tatsächlich fehlerhaft ist ?

I Beispiel:

F . . .

”Gegenstand ist tats¨achlich fehlerhaft“ ,P(F) = 0.001 . A . . .

”Gegenstand wird als fehlerhaft angezeigt“ .

Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Fehlererkennung: P(A|F) = 0.9 . Wahrscheinlichkeit f¨ur die Identifizierung eines einwandfreien Gegenstandes: P(A^c|F^c) = 0.99 .

Ges.: P(F|A) .

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2.4 Stochastische Unabh¨ angigkeit

Definition:

I Zwei zuf¨allige Ereignisse A und B zu einem Zufallsversuch heißen (stochastisch) unabh¨angig, wenn gilt

P(A∩B) =P(A)·P(B).

I Zufällige Ereignisse A₁, . . . ,A_n zu einem Zufallsversuch heißen paarweise unabhängig, falls alle Paare von ausgewählten Ereignissen unabhängig sind, d.h.

P(A_i ∩A_j) =P(A_i)·P(A_j) f¨ur alle i 6=j.

I Diese Ereignisse heißenin Gesamtheit odertotal odervollständig (stochastisch) unabhängig, falls eine entsprechende Formel für alle möglichen Auswahlen (nicht nur von Paaren) gilt, d.h. für alle 2≤k ≤n, 1≤i1 < . . . <ik ≤n gilt

P(Ai1∩. . .∩Ai_k) =P(Ai1)·. . .·P(Ai_k).

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Beispiel und Eigenschaften unabh¨ angiger Ereignisse

I Beispiel: Zweifacher M¨unzwurf mit symmetrischer M¨unze A . . .

”1. Wurf Zahl“ , B . . .

”2. Wurf Zahl“ , P(A) = 1

2, P(B) = 1

2, P(A∩B) = 1 4 = 1

2·1 2.

I Satz A und B seien unabh¨angige Ereignisse zu einem

Zufallsversuch. Dann sind auch die zufälligen Ereignisse A und das Komplement von B, also B^c, stochastisch unabhängig. Ebenso sind in diesem Fall A^c und B sowie auch A^c und B^c jeweils stochastisch unabhängige Ereignisse.

I Aus der paarweisen Unabh¨angigkeit der Ereignisse A₁, . . . ,A_n folgt im Allgemeinen nicht deren totale Unabh¨angigkeit.

I Die Unabhängigkeit von Ereignissen (im Allg. die totale) wird der Einfachheit halber häufig vorausgesetzt, gezwungenermaßen oft auch dann, wenn sie sachlich schwer begründbar ist.

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Bedingte Wahrscheinlichkeiten f¨ ur unabh¨ angige Ereignisse

Sind zwei zuf¨allige Ereignisse A,B stochastisch unabh¨angig, dann gelten (falls P(B)>0 bzw. P(A)>0)

P(A|B) =P(A) bzw. P(B|A) =P(B),

d.h. die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind gleich den unbedingten Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse. Entsprechende Formeln gelten auch f¨ur mehr als 2 in Gesamtheit unabh¨angige Ereignisse.

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Anwendung in Zuverl¨ assigkeitstheorie

Betrachten Serien- (Reihen-) und Parallelsysteme von Elementen (Bauteilen, Teilsystemen etc.), die vollständig unabhängig voneinander funktionstüchtig sind oder ausfallen.

I 2 Elemente E₁,E₂; Ereignisse F_i . . .

”ElementE_i funktioniert“ , P(Fi) =pi, Fi stochastisch unabh¨angig (i = 1,2) ,

F . . .

”System funktioniert“ .

I DasSeriensystem funktioniert, wenn sowohl E1 als auch E2

funktionieren, d.h. der Ausfall bereits eines Elements zum Systemausfall f¨uhrt:

P(F) =P(F₁∩F₂) =P(F₁)·P(F₂) =p₁·p₂.

I DasParallelsystem funktioniert, wenn E₁ oder E₂ oder beide Elemente funktionieren (mindestens ein Element funktioniert):

P(F) =P(F₁∪F₂) = 1−P(F₁^c∩F₂^c)

= 1−(1−p₁)·(1−p₂) =p₁+p₂−p₁·p₂.

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Redundante Systeme

I Seriensysteme aus vielen Elementen erfordern oft eine sehr hohe Funktionswahrscheinlichkeit der Arbeitselemente, die meist nicht realisierbar ist. Deshalb werden Reserveelemente eingebaut.

I Das entstehende System ist dann kein Seriensystem mehr und ist strukturell redundant(lateinisch: redundantia = ¨Uberf¨ulle).

I Es gibt 3 Arten der strukturellen Redundanz:

I Kalte Redundanz(unbelastete Redundanz oderReserve):

Im Reservezustand sind die Elemente keinerlei Beanspruchungen ausgesetzt, k¨onnen also nicht ausfallen.

I Warme Redundanz(erleichterte RedundanzoderReserve):

Die Reserveelemente sind geringeren Beanspruchungen ausgesetzt, die Ausfallwahrscheinlichkeit ist geringer als die der Arbeitselemente.

I Heiße Redundanz(belastete RedundanzoderReserve):

Die Reserveelemente sind den gleichen Beanspruchungen ausgesetzt wie die Arbeitselemente, besitzen also auch entsprechende

Ausfallwahrscheinlichkeiten.