Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 9. ¨ Ubung

(1)

Prof. Dr. P. Rentrop, Dr. K.-D. Reinsch SoSe 2013

Lehrstuhl M2 f¨ ur Numerische Mathematik 9. ¨ Ubung

Zentrum Mathematik, TU M¨ unchen

Differential- und Integralrechnung (MSE) [Modul MA9802]

Unterst¨ utzung im Internet unter http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/DiffIntegSoSe13

Tutor¨ ubung (Bearbeitung in der Woche vom Mo. 24.06.13 – Fr. 28.06.13)

Einige Identit¨ aten f¨ ur die Differentialoperatoren grad, div, rot und ∆

Der Nabla-Operator ∇ ist definiert durch ∇ :=



 

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z



  = e

¹

∂

∂x + e

²

∂

∂y + e

³

∂

∂z

mit den kanonischen Einheitsvektoren e

1

, e

2

, e

3

in x − , y − und z − Richtung.

Im folgenden gelte als Schreibweise f¨ ur das euklidsche Skalarprodukt im IR

³

a • b := a

^T

b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

, a, b ∈ IR

³

.

Es gelten folgende Identit¨aten :

(1) div (grad f ) = ∇ • ∇ f = ∆f

(2) grad (f g) = ∇ (f g) = g ∇ f + f ∇ g (3) rot (grad f) = ∇ × ∇ f = 0

(4) div (f V) = ∇ • (f V) = ( ∇ f ) • V + f ∇ • V (5) div (rot V) = ∇ • ( ∇ × V) = 0

(6) rot (f V) = ∇ × (f V) = f ∇ × V + ( ∇ f ) × V (7) div (V × W) = ∇ • (V × W) = W • rot V − V • rot W (8) rot (rot V) = ∇ × ( ∇ × V) = grad (div V) − ∆V (9) rot (V × W) = ∇ × (V × W) = (DV) W − (DW) V+

+(div W) V − (div V) W (10) grad (V • W) = ∇ (V • W) = (DV)

^T

W + (DW)

^T

V

mit hinreichend oft stetig differenzierbaren Skalarfeldern f, g : IR

³

−→ IR und Vektorfeldern V, W, G :=



 g

1

g

2

g

3



 : IR

³

−→ IR

³

und der Bezeichnung DG :=



 

∂

∂x

g

1 ∂

∂y

g

1 ∂

∂z

g

1

∂

∂x

g

2 ∂

∂y

g

2 ∂

∂z

g

2

∂

∂x

g

3 ∂

∂y

g

3 ∂

∂z

g

3



  .

1) Man ¨ uberpr¨ ufe die Identit¨aten (4) und (6).

– 2 –

(2)

2) Transformation von Gebieten

Gegeben ist die Transformation Φ (von elliptischen Koordinaten (u, v) auf kartesische Koordinaten (x, y) )

x = x(u, v) = 2 cosh u cos v , y = y(u, v) = 2 sinh u sin v .

a) Welches Kurvennetz der (x, y)-Ebene ist Bild des Netzes u = const. , v = const. auf dem Streifen S := { (u, v) ; u > 0 , 0 ≤ v < 2 π } der (u, v)-Ebene?

Man bestimme das Bild der Strecke { (u, v) = (0, v) ; 0 ≤ v < 2 π } . b) Man bestimme das Urbild des Astes H b

(vgl. Skizze) der Hyperbel

x

²

a

²_b

H

− y

²

b

²_b

H

= 1

mit den Brennpunkten F

1/2

= ( ± 2 , 0) und Halbachse a

_H_b

= 1 unter der Ab- bildung Φ .

Der skizzierte Bereich B wird von zwei konfokalen Ellipsen (Brennpunkte F

1/2

) und einer dazu konfokalen Hy- perbel mit Halbachse a

_H

= √

3 be- grenzt.

Man bestimme das Urbild A von B unter der Abbildung Φ , d.h.

A = Φ

⁻¹

( B ) .

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

H b E

2

E

1

H

2

B H

1

x y

F2 F1

√3 3 4

√5 2√

3

π

2 < v < π 0< v < ^π2

π < v <^3π2

3π

2 < v <2π

Skizze

c) Man berechne die Funktionaldeterminante x

_u

y

_v

− x

_v

y

_u

.

Hausaufgaben siehe ¨ Ubung 10/Probeklausur