Prof. Dr. P. Rentrop, Dr. K.-D. Reinsch SoSe 2013
Lehrstuhl M2 f¨ur Numerische Mathematik 1. ¨Ubung
Zentrum Mathematik, TU M¨unchen
Differential- und Integralrechnung (MSE) [Modul MA9802]
Unterst¨utzung im Internet unterhttp://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/DiffIntegSoSe13
Tutor¨ubung (Bearbeitung in der Woche vom Mo. 22.04.13 – Fr. 26.04.13) 1) Funktionalgleichung der exp-Funktion
Die Potenzreihe f(z) =
∞
P
k=0
akzk mit Konvergenzradius ρf > 0 sei nicht konstant und erf¨ulle die Funktionalgleichung
f(v+w) =f(v)f(w) ∀v, w ∈C mit |v|,|w|,|v+w|< ρf.
Man zeige direkt mit dem Potenzreihen-Ansatz (ohne Herleitung des Anfangswertproblems f′(z) = λ f(z), f(0) = 1, λ ∈ C \ {0} freier Parameter, und anschließender Taylor- Entwicklung), dass alle L¨osungen (obiger Form) gegeben sind durch
f(z) =
∞
X
k=0
(λ z)k
k! ∀z∈C mit freiem Parameter λ∈C \ {0}, d.h. ρf =∞ und f(z) = exp(λ z) .
2) Taylor-Entwicklung Gegeben ist die Funktion
f(x) = (1 +x)2
√1−x3 ,−1≤x <1.
a) Man bestimme die Taylor-Polynome 1.,2.
und 3. Grades mit Aufpunkt x0= 0 . b) Mit Hilfe des Restglieds in Lagrange-Form
gebe man eine Schranke f¨ur den relativen Fehler, wenn man f¨ur |x| ≤0.5 die Funk- tion f(x) durch das Taylor-Polynom 2. Grades mit Aufpunkt x0 = 0 ersetzt.
5 4 3 2 1
00 0,5 1
-0,5 -1
Approx. vonf durch 1.,2. und 3. Taylor-Polynom T1
T2
T3
f
– 2 –
Hausaufgaben
1) Additionstheorem der sinh-Funktion Die hyperbolischen Funktionen
”sinh“ und
”cosh“ sind definiert durch sinh(z) := 1
2 exp(z)−exp(−z)
, cosh(z) := 1
2 exp(z) + exp(−z)
∀z∈C. a) Man zeige mit Hilfe der Potenzreihe der exp-Funktion die Potenzreihen-Entwicklungen
sinh(z) =
∞
X
n=0
z2n+1
(2n+ 1)! , cosh(z) =
∞
X
n=0
z2n
(2n)! ∀z∈C.
b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den trigonometrischen Funktionen
”sin“
bzw.”cos“ und den hyperbolischen Funktionen
”sinh“ und
”cosh“?
c) Man zeige das Additionstheorem f¨ur
”sinh“
sinh(v+w) = sinh(v) cosh(w) + cosh(v) sinh(w) ∀v, w ∈C
• zum einen mit Hilfe der Definition von
”sinh“ und
”cosh“ ,
• zum anderen mit Hilfe der Potenzreihen von
”sinh“ bzw.
”cosh“ .
2) Taylor-Entwicklung Gegeben ist die Funktion
f(x) =√4
x , 0.7≤x≤1.3.
Man bestimme das Taylor-Polynom 2. Grades von f(x) mit Aufpunkt x0 = 1 und berechne mit Hilfe des Restglieds in Lagrange-Form eine Schranke f¨ur den relativen Fehler (, wenn man die Funktion f(x) durch das Taylor-Polynom 2.
Grades ersetzt).
0
x
2 1,2
0,6
1,5 1
1 0,2
0,4
0,5 0
0,8
Approx. vonf durch 2. Taylor-Polynom T2
f
Abgabe Dienstag, den 30.04.2013, nach der Vorlesung
