Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.5) Partielle Integration
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Partielle Integration als Umkehrung der Produktregel
Produktregel der Differentiation (mit f(t) und g(t)) (f · g)0 = f0 · g + g0 · f
x
Z
x0
dt (1)
liefert nach Integration und Anwendung des 1. Hauptsatzes:
x
Z
x0
(f · g)0 dt =
f · gx x0 =
x
Z
x0
(f0 · g)dt +
x
Z
x0
(f · g0)dt (2)
In dieser Form kaum nutzbar, daher Umstellung zu:
x
Z
x0
(f · g0)dt =
f · gx
x0 −
x
Z
x0
(f0 · g)dt (3)
(Aufl¨osung nach dem anderen Integralterm ist dasselbe wie Vertauschung der Rollen von f und g.)
Partielle Integration in der Praxis Z
(f · g0)dt = f · g − Z
(f0 · g)dt (4)
x
Z
x0
(f · g0)dt =
f · gx x0 −
x
Z
x0
(f0 · g)dt (5)
Ausf¨uhrung:
• Zerlegung des Integranden in zwei Faktoren f und g0
• es muß machbar sein: Ableitung f → f0, Integration g0 → g
• steuerbar durch passende Zuweisung von f bzw. g0 Erfolgsm¨oglichkeiten/F¨alle:
(1) R
f g0 dt schwierig, R
f0g dt einfacher (Grundintegral,
oder l¨osbar mit erneuter partieller Integration oder mit Substitution) (2) R
f0g dt ist dasselbe Integral wie R
f g0 dt oder ein Vielfaches davon (3) R
f0g dt entspricht R
f g0 dt im formalen Aufbau
⇒ evtl. L¨osung per Rekursionsformel m¨oglich
Beispiel Fall (1)
Z
x ex dx = x ex − Z
ex dx = x ex − ex + C = ex(x − 1) + C (6) f = x g = ex
f0 = 1 g0 = ex
Die andere (f, g0)-Zuordnung f¨uhrt nicht zu einer Vereinfachung:
Z
x ex dx = 1
2 x2 ex − 1 2
Z
x2ex dx = ?? (7)
f = ex g = 12x2 f0 = ex g0 = x
Spezialfall von Fall (1): g0 = 1 Z
u(x) dx = Z
(1 · u(x))dx = x u(x) − Z
x u0(x)dx (8) f = u g = x
f0 = u0 g0 = 1
• genial, weil Integration von u(x) durch Ableitung von u(x) ersetzt wird
• lohnt sich nur, wenn R
x u0 dx einfacher als R
u(x)dx ist (kann sein, muß aber nicht)
Spezialfall von Fall (1): g0 = 1 Beispiel:
Z
ln(x)dx = x ln(x) −
Z x
x dx = x ln(x) − Z
dx = xln(x) − x + C (9) f = ln(x) g = x
f0 = 1x g0 = 1 Gegenbeispiel:
Z
ex dx = x ex − Z
x ex dx = ?? (10)
f = ex g = x f0 = ex g0 = 1
Beispiel Fall (2)
2π
Z
0
sin2(x)dx = [−sin(x) cos(x)]2π0
| {z }
=0
+
2π
Z
0
cos2(x)dx (11)
f = sin(x) g = −cos(x) f0 = cos(x) g0 = sin(x)
2π
Z
0
cos2(x)dx = [sin(x) cos(x)]2π0
| {z }
=0
+
2π
Z
0
sin2(x)dx (12)
f = cos(x) g = sin(x) f0 = −sin(x) g0 = cos(x) Zusammengenommen:
2π
Z
0
sin2(x)dx =
2π
Z
0
sin2(x)dx (13)
Richtig, aber sinnlos.
Beispiel Fall (2)
Besserer und erfolgreicher Weg:
2π
Z
0
sin2(x)dx = [−sin(x) cos(x)]2π0
| {z }
=0
+
2π
Z
0
cos2(x)dx (14)
f = sin(x) g = −cos(x) f0 = cos(x) g0 = sin(x)
Mit sin2(x) + cos2(x) = 1 diese Umformung m¨oglich:
2π
Z
0
cos2(x)dx =
2π
Z
0
(1 − sin2(x))dx =
2π
Z
0
dx −
2π
Z
0
sin2(x)dx = 2π −
2π
Z
0
sin2(x)dx (15) Zusammengenommen:
2π
Z
0
sin2(x)dx = 2π −
2π
Z
0
sin2(x)dx (16)
Beispiel Fall (2)
Trotz der großen ¨Ahnlichkeit zu Gl. 13 ist Gl. 16 nicht nur sinnvoll, sondern ein fast fertiges Integrationsresultat:
2π
Z
0
sin2(x)dx = 2π −
2π
Z
0
sin2(x)dx
+
2π
Z
0
sin2(x)dx (17)
2
2π
Z
0
sin2(x)dx = 2π
: 2 (18)
2π
Z
0
sin2(x)dx = π (19)
In sehr ¨ahnlicher Weise integrierbar:
Z
cos2(x)dx ,
Z
sinh2(x) dx ,
Z
cosh2(x)dx , . . . (20)
Beispiel Fall (3)
In = Z
xn sin(x) dx = −xn cos(x) + n Z
xn−1 cos(x)dx (21)
f = xn g = − cos(x) f0 = nxn−1 g0 = sin(x) Z
xn−1cos(x)dx = xn−1sin(x) − (n − 1) Z
xn−2 sin(x)dx
| {z }
In−2
(22) f = xn−1 g = sin(x)
f0 = (n − 1)xn−2 g0 = cos(x) Zusammengefaßt ergibt sich eine Rekursionsformel:
In = −xn cos(x) + nxn−1sin(x) − n(n − 1)In−2 (23) alle In mit geradem n berechenbar aus I0 =
Z
sin(x)dx = −cos(x) + C (24) alle In mit ungeradem n berechenbar aus I1 =
Z
xsin(x)dx = −x cos(x) + sin(x) + C (25)
Integration ist schwerer als Differentiation
• Grundintegrale: eventuell
unbekannte transzendente Funktion als Stammfunktion
• Integrationsregeln:
– nur begrenzt anwendbar
– keine garantierte Vereinfachung
(Gilt f¨urs richtige Leben, nicht f¨ur MfC1/2, und nur f¨ur exakte, analytische Integration.
Approximative Integration durch Taylor- entwicklung und numerische Integration sind fast immer m¨oglich.)
• Vorteil: Integrationsergebnis durch Ableitung leicht ¨uberpr¨ufbar
(https://xkcd.com/2117/)
