Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung
3.8) Integration durch Taylorentwicklung, spezielle Funktionen
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Integration durch Taylorentwicklung
π/2
Z
0
cos(x) dx = [sin(x)]π/20 = sin(π/2) − 0 = sin(π/2) = 1 (1) Alternativer Integrationsweg: Ersatz der Integrandenfunktion durch ihre Taylorreihe:
π/2
Z
0
cos(x)dx =
π/2
Z
0
1 − 12 x2 + 4!1 x4 − 6!1 x6 ± · · ·
dx (2)
=
x − 3·21 x3 + 5·4!1 x5 − 7·6!1 x7 ± · · ·
π/2
0
(3)
=
x − 3!1 x3 + 5!1 x5 − 7!1 x7 ± · · ·
π/2
0
(4)
= [sin(x)]π/20 = 1 (s.o.) (5)
Vorteil: Integration bis Gln. 3 bzw. 4 immer m¨oglich, weil alle Polynomterme integrierbar sind.
Integration durch Taylorentwicklung
Ist zur Stammfunktions-Taylorreihe die tats¨achliche Stammfunktion nicht bekannt/ermittelbar, kann trotzdem ein n¨aherungsweises Integrationsresultat generiert werden:
π/2
Z
0
cos(x)dx =
x − 3!1 x3 + 5!1 x5 − 7!1 x7 ± · · ·
π/2
0
(6) Alle Untergrenzen-Beitr¨age sind hier Null; Addition der Obergrenzenbeitr¨age n¨ahert sich schnell dem exakten Resultat 1 an:
π
2 = 1.57079. . . (7)
· · · − 1 3!
π 2
3
= 0.9248. . . (8)
· · · + 1 5!
π 2
5
= 1.00452. . . (9)
· · · − 1 7!
π 2
7
= 0.999843. . . (10)
...
Spezielle Funktionen, am Beispiel erf(x)
Viele Integrale mit exp() sind leicht integrierbar, z.B.:
Z
ex dx = ex + C Grundintegral (11)
Z
xex2 dx = 12 ex2 + C Subst.: u = x2 , du = 2x dx (12) Z
xe−x2 dx = −12 e−x2 + C Subst.: u = x2 , du = 2x dx (13) Z
x2ex2 dx = 12 ex2(x2 − 1) + C Subst. und partielle Integration (14) ...
...
Aber mit keiner (Kombination von) Methode(n) integrierbar:
Z
e−x2 dx = ?? (15)
Spezielle Funktionen, am Beispiel Fehlerfunktion erf(x) Z
e−x2 dx = ?? (16)
Die Integrandenfunktion e−x2 ist f¨ur alle x ∈ R definiert und stetig ⇒ Laut 1. Hauptsatz existiert eine Stammfunktion f¨ur alle x ∈ R, aber wir kennen sie noch nicht.
Also definieren wir sie, als Resultat des Integrals (in 1.Hauptsatz-Notation und unbestimmt):
erf(x) := 2
√π
x
Z
0
e−t2 dt , erf(x) + C := 2
√π Z
e−x2 dx (17)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
erf(x) exp(-x*x)
Spezielle Funktionen, am Beispiel Fehlerfunktion erf(x)
Berechnung von erf(x)-Funktionswerten ¨uber Taylorreihenentwicklung:
eα = 1 + α + α2
2! + α3
3! + · · · , mit α = −t2 (18) gefolt von Integration:
erf(x) = 2
√π
x
Z
0
e−t2 dt (19)
= 2
√π
x
Z
0
1 − t2 + t4
2 − t6
6 ± · · ·
dt (20)
= 2
√π
x − x3
3 + x5
10 − x7
42 ± · · ·
= 2
√π
∞
X
n=0
(−1)nx2n+1
n!(2n + 1) (21) Das ist nicht ungew¨ohnlich:
Taschenrechner/Computer berechnen sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), usw., auch ¨uber (Taylor-artige) Reihenentwicklungen!
Spezielle Funktionen, am Beispiel Fehlerfunktion erf(x) Die Ableitung von erf(x) folgt trivial aus dem 1. Hauptsatz:
d
dx erf(x) = 2
√πe−x2 (22)
Per partieller Integration ist erf(x) leicht integrierbar:
Z
erf(x)dx = xerf(x) − 2
√π Z
xe−x2 dx (23)
f = erf(x) g = x f0 = √2π e−x2 g0 = 1
Das verbleibende Integral wurde in Gl. 13 bereits gel¨ost; zusammen ergibt sich:
Z
erf(x)dx = xerf(x) + 1
√π e−x2 + C (24)
Damit wissen wir ¨uber erf(x) genauso viel/wenig
Spezielle Funktionen
Welche Integrandenfunktionen zu neuen transzendenten Funktionen f¨uhren und welche nicht, ist nicht leicht zu sehen. Beispiele:
Z ln(x)
x dx = 1
2 ln2(x) + C (25)
(sehr leicht integrierbar mit Substitution u = ln(x), du = dx/x).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
0 2 4 6 8 10
log(x)/x
Spezielle Funktionen
Z sin(x)
x dx = Si(x) + C (26)
Definiert neue transzendente Funktion “Integralsinus” Si(x).
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-10 -5 0 5 10
sin(x)/x
Spezielle Funktionen Z tan(x)
x dx = ?? ,
Z
tan(x)dx = − ln(cos(x)) + C (27) Auch das Top-Mathematikprogramm “Mathematica” kennt f¨ur tan(x)/x keine Stammfunktion.
Das Problem sind nicht die Polstellen, denn das Integral von tan(x) = sin(x)/ cos(x) ist mit der Substitution u = cos(x), du = −sin(x)dx leicht ermittelbar.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-6 -4 -2 0 2 4 6
tan(x)/x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-6 -4 -2 0 2 4 6
tan(x)
