Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.3) Beispiele zur Partialbruchzerlegung
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Partialbruchzerlegung: reell
Jede reelle, echt gebrochen rationale Funktion Rnm(x) = Pn(x)
Qm(x) mit mit x, ak ∈ R und n < m (1) l¨aßt sich in Partialbr¨uche erster und zweiter Art zerlegen:
Rnm(x) = Pn(x)
Qm(x) = A1
x − a + A2
(x − a)2 + · · · + Aα
(x − a)α (2)
+ · · · (3)
+ B1x + C1
x2 + bx + c + B2x + C2
(x2 + bx + c)2 + · · · + Bβx + Cβ
(x2 + bx + c)β (4)
+ · · · (5)
mit Ai, Bi, Ci, a, b, c ∈ R (6) Test: In beiden F¨allen (reell, komplex) muß eine Addition der Partialbr¨uche (mit normalen Bruchrechenregeln) die urspr¨ungliche Funktion Rnm(x) zur¨uckliefern.
Partialbruchzerlegung: reell
1. bei unecht gebr.rat.Fkt., Polynomdivision “Z¨ahlerpolynom durch Nennerpolynom”
→ Polynom + echt gebr.rat.Fkt.
2. Nennerpolynom der echt gebr.rat.Fkt. faktorisieren = alle Nullstellen findenb 3. daraus folgt der Partialbruchansatz Gln. 2 -5
4. Multiplikation mit dem Nennerpolynom, K¨urzen 5. ausmultiplizieren, und ordnen nach Potenzen von x 6. Koeffizientenvergleich → lineares Gleichungssystem
7. L¨osung des lin.Gl.systems → Bestimmung der Koeffizienten Ai, Bi, Ci 8. ggf. das Polynom aus Schritt (1) dazuaddieren
9. Test: Addition der Partialbr¨uche (plus ggf. das Polynom) →? urspr¨ungliche gebr.rat.Fkt.
Partialbruchzerlegung: Beispiel 1
y = f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x
x3 − x2 − x + 1 (7)
unecht gebrochen, daher zuerst Polynomdivision (mit Rest):
x4 + 3x3 + 3x2 + x
: x3 − x2 − x + 1
= x + 4 + 8x2 + 4x − 4 x3 − x2 − x + 1
− x4 + x3 + x2 − x 4x3 + 4x2
− 4x3 + 4x2 + 4x − 4 8x2 + 4x − 4
Zur Faktorisierung des Nenners: alle 3 Nullstellen ermitteln.
Rate Nullstelle x1 = 1, Polynomdivision (ohne(!) Rest):
x3 − x2 − x + 1
: x − 1
= x2 − 1
− x3 + x2
− x + 1 x − 1 0
Binom.Formel: (x2 − 1) = (x + 1)(x − 1) ⇒ Nenner x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2(x + 1)
Partialbruchzerlegung: Beispiel 1
Hier ausnahmsweise auch Z¨ahlerfaktorisierung:
8x2 + 4x − 4 = 8(x2 + 12x − 12) = 8(x + 1)(x − 12) (8) Dies erm¨oglicht Elimination einer Definitionsl¨ucke bei x = −1:
y = f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x
x3 − x2 − x + 1 = x + 4 + 8(x + 1)(x − 12)
(x − 1)2(x + 1) = x + 4 + 8 x − 12
(x − 1)2 (9) Partialbruchansatz f¨ur gebr.rat.Anteil der vereinfachten Funktion:
x − 12
(x − 1)2 = A1
x − 1 + A2
(x − 1)2 | · (x − 1)2 (10)
x − 12 = A1(x − 1) + A2 (11) x − 12 = A1x + (A2 − A1) (12) Koeffizientenvergleich links-rechts in Gl. 12, nach den Potenzen von x:
x1 : 1 = A1 (13)
x0 : −12 = A2 − A1 ⇒ A2 = 12 (14)
Partialbruchzerlegung: Beispiel 1
y = f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x
x3 − x2 − x + 1 = x + 4 + 8 x − 12 (x − 1)2
!
(15)
= x + 4 + 8
1
x − 1 + 1
2(x − 1)2
(16)
Test:
1
x − 1 + 1
2(x − 1)2 = 2(x − 1) + 1
2(x − 1)2 = 2x − 1
2(x − 1)2 = x − 12
(x − 1)2 X (17)
Partialbruchzerlegung: Beispiel 1
y = f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x
x3 − x2 − x + 1 = (x + 4) + 8 x − 12
(x − 1)2 (18)
-5 0 5 10 15 20
-4 -2 0 2 4
8(x-1/2)/(x-1)2 0
-5 0 5 10 15 20
-4 -2 0 2 4
x+4+8(x-1/2)/(x-1)2 x+4
Partialbruchzerlegung: Beispiel 1
y = f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x
x3 − x2 − x + 1 = (x + 4) + 8
x − 1 + 4
(x − 1)2 (19)
-10 -5 0 5 10 15 20
-4 -2 0 2 4
x+4+8(x-1/2)/(x-1)2 x+4 4/(x-1)2
-10 -5 0 5 10 15 20
-4 -2 0 2 4
x+4+8(x-1/2)/(x-1)2 x+4 4/(x-1)2 8/(x-1)
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Partialbruchzerlegung: Beispiel 2
y = f(x) = −x2 − 3
x3 + x2 + x + 1 = −x2 − 3
(x + 1)(x2 + 1) (20)
echt gebrochen; Nennerfaktorisierung gegeben; Partialbruchansatz:
−x2 − 3
(x + 1)(x2 + 1) = A
x + 1 + Bx + C
x2 + 1 | · (x + 1)(x2 + 1) (21)
−x2 − 3 = A(x2 + 1) + (x + 1)(Bx + C) (22)
= Ax2 + A + Bx2 + Cx + Bx + C (23)
−x2 − 3 = (A + B)x2 + (B + C)x + (A + C) (24) Koeffizientenvergleich in Potenzen von x:
x2 : −1 = A + B (25)
x1 : 0 = B + C (26)
x0 : −3 = A + C (27)
L¨osung des linearen Gleichungssystems liefert A = −2, B = 1, C = −1, also:
y = f(x) = −x2 − 3
x3 + x2 + x + 1 = −2
x + 1 + x − 1
x2 + 1 (28)
Partialbruchzerlegung: Beispiel 3
y = f(x) = x2
x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4 = x2
(x2 + x + 2)2 (29)
echt gebrochen; Nennerfaktorisierung gegeben; Partialbruchansatz:
x2
(x2 + x + 2)2 = Ax + B
x2 + x + 2 + Cx + D
(x2 + x + 2)2 | · (x2 + x + 2)2 (30)
x2 = (Ax + B)(x2 + x + 2) + Cx + D (31)
x2 = Ax3 + (A + B)x2 + (2A + B + C)x + (2B + D) (32) Koeffizientenvergleich in Potenzen von x:
x3 : 0 = A (33)
x2 : 1 = A + B (34)
x1 : 0 = 2A + B + C (35)
x0 : 0 = 2B + D (36)
L¨osung des linearen Gleichungssystems liefert A = 0, B = 1, C = −1, D = −2, also:
y = f(x) = x2
x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4 = 1
x2 + x + 2 − x + 2
(x2 + x + 2)2 (37)
