Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.0) Funktionen: Grundlagen
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Grundlagen von Funktionen
An dieser Stelle unbedingt ansehen / wiederholen:
• Unterkapitel 3.1 “Funktionsbegriff” im Skript
• die Funktionen-Abschnitte 7 und 8 vom Ende des Mathe-Vorkurses (MfC0) pdf-Dateien: Abschnitt 7, Abschnitt 8
mp4-Videos: Abschnitt 7, Abschnitt 8
Funktionenklassen
ganz rational, Polynom:
y = f(x) = x2 gebrochen rational:
y = f(x) = 1x
rational
irrational:
y = f(x) = √ x
algebraisch
transzendent:
y = f(x) = sin(x)
elementar (1)
Zahlreiche gemeinsame Eigenschaften innerhalb der jeweiligen Klasse, die f¨ur andere Klassen nicht gelten, z.B.:
• f¨ur (fast) alle Polynome gilt limx→±∞(f(x)) = ±∞,
aber gebrochen rationale Funktionen k¨onnen auch limx→±∞(f(x)) = 0
• Polynome sind f¨ur alle x ∈ R definiert, gebrochen rationale Funktionen k¨onnen isolierte Definitionsl¨ucken haben (Nullstellen des Nenners), irrationale und transzendente Funktionen sind manchmal auf gr¨oßeren x-Achsenintervallen nicht definiert.
Parameterdarstellung
Neben den ¨ublicheren Funktionendarstellungen
explizit: y = f(x) , implizit: F(x, y) = 0 (2) sind immer auch (unendlich) viele Parameterdarstellungen m¨oglich:
x = x(t) , y = y(t) (3)
Nachteile: “eine Gleichung mehr”, “eine Variable mehr”
Vorteile: w¨ahlbare Durchlaufrichtung der Kurve,
Anpassung der Funktionsausdrucks an bestimmte Zwecke.
Aufstellung einer Parameterdarstellung:
• w¨ahle einen beliebigen(!) Zusammenhang zwischen x und t
• setze x(t) in y = f(x) ein ⇒ zugeh¨origes y(t)
Von einer Parameterdarstellung zur¨uck zur expliziten/impliziten Darstellung:
• den Parameter aus den Gln. 3 eliminieren.
Parameterdarstellung: Beispiel
Kreisgleichung: x2 + y2 = r2 (r = const.) (4) Ausgesuchter (beliebiger) Zusammenhang x ↔ ϕ:
x = r cos(ϕ) (5)
Einsetzen in Gl. 4 liefert
r2cos2(ϕ) + y2 = r2 (6)
y2 = r2 − r2 cos2(ϕ) = r2(1 − cos2(ϕ)) (7)
= r2sin2(ϕ) (8)
y = r sin(ϕ) (9)
⇒ Kreisgleichung: x = r cos(ϕ) , y = rsin(ϕ) (r = const.) (10)
• echte (eindeutige) Funktionszusammenh¨ange (Gl. 4 ist zweideutig)
• l¨auft ϕ von 0 bis 2π, dann l¨auft der Punkt (x|y) einmal um die Kreisperipherie, von der x-Achse im Gegenuhrzeigersinn wieder zur¨uck zur x-Achse.
• Wahl der negativen Wurzel beim ¨Ubergang von Gl. 8 zu Gl. 9
Parameterdarstellung: Beispiel
Kreisgleichung: x = rcos(ϕ) , y = r sin(ϕ) (r = const.) (11) Zur¨uck zur impliziten Darstellung entweder elegant
x2 + y2 = r2(cos2ϕ + sin2ϕ) = r2 (12) oder “zu Fuß”: Eine der Parametergleichungen nach ϕ aufl¨osen
x = r cos(ϕ) ⇒ arccos(x/r) = ϕ (13)
und in die andere einsetzen:
y = r sin
arccosx r
= r r
1 − cos2
arccosx r
= r r
1 − x r
2
(14) y2
r2 = 1 − x2
r2 (15)
y2 = r2 − x2 (16)
⇒ Kreisgleichung: x2 + y2 = r2 (r = const.) (17)
Parameterdarstellung: Beispiel
Kreisgleichung: x2 + y2 = r2 (r = const.) (18) Anderer (beliebiger) Zusammenhang x ↔ t:
x = r 2t
1 + t2 (19)
Einsetzen in Gl. 18 liefert
4t2r2
(1 + t2)2 + y2 = r2 (20)
y2 = r2
1 − 4t2r2 (1 + t2)2
= (1 + t2)2 − 4t2
(1 + t2)2 = t4 − 2t2 + 1
(1 + t2)2 = (1 − t2)2
(1 + t2)2 (21) y = r1 − t2
1 + t2 (22)
L¨auft in dieser Parameterdarstellung (Gln. 19,22) t von −∞ zu +∞, dann l¨auft der Punkt (x|y) einmal im Uhrzeigersinn um die Kreisperipherie, mit (0| − 1) als Startpunkt.