1. Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) ergeben sich aus f(x) = 0 und sind im Folgenden mit N

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11. Klasse L¨osungen 11

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1. Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) ergeben sich aus f(x) = 0 und sind im Folgenden mit N

bezeichnet. Der Schnittpunkt Y mit der y-Achse ergibt sich durch Berechnung von f (0).

(a) • f

(x) = 4x

• f

(x) = −x − 2

• f

(x) = 0

• f

(x) = x

+ 6x − 7, also f

(x) = 3x

+ 6 (b) • N

(−2|0), N

(2|0); Steigungen: f

(−2) = −32, f

(2) = 32.

Y (0| − 16); Steigung f

(0) = 0 (waagrechte Tangente).

• N

(2|0), N

(−6|0); Steigungen: f

(2) = −4, f

(−6) = 4.

Y (0|6); Steigung: f

(0) = −2.

• f

ist eine Parallele zur x-Achse und hat keine Nullstellen.

Y (0|11); Steigung: f

(0) = 0.

• N

(1|0); Steigung: f

(1) = 9. Y (0| − 7); Steigung: f

(0) = 6.

2. (a) f

(x) = Geschwindigkeits¨anderung pro Zeit = Beschleunigung zur Zeit x.

(b) f(x) = (2x)

= 8x

. f

(x) = 24x

= 6 · (2x)

= Oberfl¨ache der W¨urfels.

Anschaulich istf(x+h)das Volumen eines W¨urfels, der außen zus¨atzlich mit einer Haut der Dickeh¨uberzogen ist.f(x+h)−f(x)ist das Volumen der Haut. Dividert man dieses Volumen durch die Dickeh, so erh¨alt man die Fl¨ache.

3. f(x) = |

x+1| =

( ₁

2

x + 1 , falls

x + 1 ≥ 0

−(

x + 1) , falls

x + 1 < 0 =

( ₁

2

x + 1 , falls x ≥ −2

−

x − 1 , falls x < −2 Die Funktion ist an der Stelle x = −2 nicht differenzierbar, denn die Grenzwerte

h→0

lim

f(−2+h)−f(−2)

h

=

1

2(−2+h)+1−0)

h

=

und lim

h→0

f(−2−h)−f(−2)

−h

=

1

2(−2−h)−1−0

−h

= −

stimmen nicht ¨uberein.

Anschaulich ist f (x) = |

(x+2)| eine um 2 nach links und mit Faktor 2 in x-Richtung gestreckte Betragsfunktion, so dass f an der Stelle −2 einen Knick aufweist.

4. f(x) 1 x x

x

x

F (x) x

x

x

x

x

(jeweils plus additive Konstante+c)

Stammfunktionen zu f(x) = 7x

−8x−1:

F (x) = 7 ·

− 8 ·

− x + c, also z. B.

F (x) =

x

− 4x

− x.

5. Zur Ermittlung der Ableitung legt man an verschiedenen Punkten des Graphen eine Tangente und bestimmt mit Hilfe eines Stei- gungsdreiecks dessen Steigung. Die so gewonnenen Werte wer- den in ein Koordinatensystem eingetragen. So ist z. B. bei x = −2 die Steigung 0 (→ Punkt (−2|0)), ebenso bei x ≈ −0,8; bei x = 0 ist die Steigung etwa −4 (→ Punkt (0| − 4)).

-x 6

y

f

2 2

0

-x 6

y

F

2 2

0

Eine Stammfunktion von f , also eine Funktion F mit F

= f ,

muss f¨ur x ∈] − ∞; −2[ (da der Graph von f dort oberhalb der

x-Achse verl¨auft) die Eigenschaft F

(x) > 0 haben, also zun¨achst

steigend verlaufen. Bei x = −2 ist F

(−2) = f (−2) = 0, also

die Steigung dort 0; entsprechend erh¨alt man den weiteren Verlauf

von F . Neben der hier gezeichneten Stammfunktion sind ebenso

nach oben oder unten verschobene Graphen als L¨osung m¨oglich.