Schr¨anken Sie sich dazu auf den Fallf ≥0 ein und betrachten Sie die Werte X n∈Z Z [0,1) f(x+n)dµ(x) und Z [0,1) X n∈Z f(x+n)dµ(x)

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 6

Zusatzaufgabe 5. Seif:R→[−∞,∞] Lebesgue-integrierbar. Zeigen Sie, dass dann

n→∞lim f(x+n) = 0 und lim

n→∞f(x−n) = 0 f¨urµ-fast alle x∈R.

Schr¨anken Sie sich dazu auf den Fallf ≥0 ein und betrachten Sie die Werte X

n∈Z

Z

[0,1)

f(x+n)dµ(x) und Z

[0,1)

X

n∈Z

f(x+n)dµ(x).

L¨osung: Istf wie gegeben, so kann man sich offenbar durch Betrachtung vonf− und f+ auf den Fall f ≥0 einschr¨anken. Wir verwenden nacheinander die Integrierbarkeit von f, den Satz von Beppo-Levi, die Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes und Aufgabe 3(a) von Blatt 5 und finden

∞>

Z

R

f(x)dµ(x)≥ X

n∈N0

Z

[n,n+1)

f(x)dµ(x)

=

∞

X

n=0

Z

[0,1)

f(x+n)dµ(x) = Z

[0,1)

∞

X

n=0

f(x+n)dµ(x).

Damn muss aber auch der letzte Integrand, also die Reihe

∞

X

n=0

f(x+n),

f¨ur µ-fast alle x ∈ [0,1) endlich sein. Daraus folgt, dass (f(x+n))_n f¨ur µ-fast alle x∈[0,1) eine Nullfolge ist. Analog sieht man, dass (f(x−n))nf¨urµ-fast allex∈[0,1) eine Nullfolge ist. Damit folgt die Behauptung.

1