2) Seien x 2 , . . . , x n ∈ E n und z := x 2 × . . . × x n . Man zeige:

Ubungsaufgaben: Partielle Differentialgleichungen I ¨ Serie 1

Prof. Dr. H.-Ch. Grunau , PD Dr. B. Rummler Wintersemester 2020/21

1) Gegeben seien die Vektoren a , b ∈ E ³ . Man berechne die Oberfl¨ ache des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Leiten Sie Ihre Formel aus elementaren Tatsachen der linearen Algebra her

2) Seien x ₂ , . . . , x _n ∈ E ⁿ und z := x ₂ × . . . × x _n . Man zeige:

||z|| ² = det [x ₂ , . . . , x _n ] ^T · [x ₂ , . . . , x _n ] .

Hinweis. Uberlegen Sie sich eine allgemeinere Identit¨ ¨ at f¨ ur Skalarprodukte von Kreuzpro- dukten und verwenden Sie zu deren Herleitung die allgemeinen Eigenschaften von Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Determinante.

3) Ein Torus T mit Radien 0 < r < R werde durch

Φ : G = [0, 2π] × [0, 2π] → E ³ , Φ(α, β) =





cos(α)(R + r cos(β)) sin(α)(R + r cos(β))

r sin(β)





parametrisiert. Man berechne die Oberfl¨ ache (d.h., das zweidimensionale Volumen) des Torus.

4) (a) Sei R > 0 und f ∈ C ⁰ (B R (0)). Man beweise die folgende Formel:

Z

B

(0)

f (x) dx = Z R

0

Z

∂B

(0) = ω

f (x) dS(x)dr = Z R

0

r ⁿ⁻¹ Z

∂B

(0)

f(rx) dS(x)dr

Hinweis. Parametrisieren Sie obere und untere Halbsph¨ aren als Graphen.

(b) Sei ˘ e _n := vol _n (B ₁ (0)) := R

B

(0) dx das Volumen der Einheitskugel und S ⁿ⁻¹ R =

∂B _R (0) = ω _(n),R ⊂ E ⁿ die Sph¨ are von Radius R in E ⁿ . Man beweise, dass vol n−1 ( S ⁿ⁻¹ R ) = vol n−1 (ω _(n),R ) :=

Z

∂B

(0)

dS(x) = n˘ e _n R ⁿ⁻¹ .

(c) Formulieren Sie die Formel aus Aufgabenteil (a) f¨ ur radialsymmetrische Funk- tionen.

- - - – - - - -

Bitte wenden!!!

5) Zeigen Sie unter Verwendung des Gaußschen Integralsatzes, dass Z

B

(0)

log(||x||) dx = − ˘ e _n n .

Hinweis. Man zeige zun¨ achst f¨ ur F (x) := x log(||x||) (x ∈ E ⁿ \ {0}), dass lim ε&0

Z

B

(0)\B

(0)

div(F ) dx = 0.

6) Seien A, B ∈ R ^n×n zwei positiv semidefinite symmetrische Matrizen. Zeigen Sie:

Spur(A · B) = Spur(A ◦ B) ≥ 0.

Dabei bezeichnet Spur(C) = P n

j=1 c j,j die Spur der Matrix C = [c j,k ] ∈ R ^n×n .