Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2011 Mathematik 13 Technik - A I - Lösung
Teilaufgabe 1.0
Gegeben ist die reellen Funktione ga x ( ) 2 a e x a 2 e 2 x e 2 x
= mit x ∈ IR und a ∈ IR \ {0}.
Teilaufgabe 1.1 (7 BE)
Ermitteln Sie die Nullstellen von ga sowie deren Anzahl in Abhängigkeit von a. Bestimmen Sie das Verhalten von ga x ( ) für x → ± ∞ und die Gleichung der Asymptote des Graphen von ga .
Mathcad-Darstellung: g x a ( ) 2 a e x a 2 e 2 x e 2 x
Zähler: z x a ( ) 2 a e x a 2 e 2 x
Nullstellenbedingung: z x a ( ) = 0 ⇔ 2 a e x a 2 e 2 x = 0
⇔ e x a 2 = 0 ⇔ e x = a
Nullstellen: a 0 x12 ln a = ( ) eine zweifache NS
a 0 keine Nullstellen
Umformung: g x a ( ) 2 e x a e 2 x a 2 1
x
∞2 e x a e 2 x a 2 1
lim
1
⇒ horizontale Asymptote y = 1
a 2
↑
∞x
2 a e x a 2 e 2 x e 2 x
lim
∞
=
↓
∞
Teilaufgabe 1.2 (8 BE)
Ermitteln Sie das Monotonieverhalten sowie Lage und Art möglicher Extrempunkte des Graphen von ga in Abhängigkeit von a. [ Teilergebnis: g'a x ( ) = 2 a 2 e 2 x 2 a e x ]
g' x a ( ) x
g x a ( ) d
d
2 e 2 x a 2 2 e x a e 2 x e 2 x 2 e 2 x 2 a e x
g' x a ( ) 2 a a e 2 x e x ⇔ g' x a ( ) 2 e x a 2 e x a
Horizontale Tangenten: g' x a ( ) = 0 e x 0 ⇔ a 2 e x a = 0
⇔ a e x 1 = 0 ⇔ a e x = 1 auflösen x ln 1 a
⇔ xE ln a = ( )
a 0 g' x a ( ) 0 ⇔ a 2 e x a 0 annehmen a 0
auflösen x x ln 1 a
G
gist streng monoton steigend für x ∈ ] ∞ ; ln a ( ) ]
g' x a ( ) 0 ⇔ a e 2 x e x 0 annehmen a 0
auflösen x ln 1 a
x
G
gist streng monoton fallend für x ∈ [ ln a ( ) ; ∞ [
xE ln a = ( )
⇒ ist rel. Maximum
g ln a ( ( ) a ) 0 ⇒ Hochpunkt HP ln a ( ( ) 0 )
a 0 g' x a ( ) 0 ⇔ a 2 e x a 0 annehmen a 0
auflösen x x ∈ ℝ
G
gist streng monoton steigend für x ∈ ℝ, keine Extrempunkte.
1 0 1 2 3 4 5
3
2
1 1 2 3
a = 1 a = 5 a = 10
Graphen mit a > 0
x-Achse
y-Achse
1 0 1 2 3 4 5
3
2
1 1 2 3
a = - 1 a = - 5 a = - 10
Graphen mit a < 0
x-Achse
y-Achse
Teilaufgabe 1.3 (5 BE)
Zeichnen Sie den Graphen von g1 im Bereich 1 x 5 unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse ( 1 LE = 2 cm ). Tragen Sie auch die Asymptote ein.
1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
2
1.5
1
0.5 0.5
1 1.5 2
Graph von g1
Horizontale Asymptote Kurvenpunkte
x-Achse
y-Achse
xf -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
g1 xf ( ) -2.95 -0.42 0.00 -0.15 -0.40 -0.60 -0.75 -0.84 -0.90 -0.94 -0.96 -0.98 -0.99
Teilaufgabe 1.4.0
Die Funktion h ist gegeben durch h x ( ) = g1 x ( ) = e x 1 2 und Dh = [ 0 ; ∞ [.
Teilaufgabe 1.4.1 (4 BE)
Begründen Sie, dass die Funktion h umkehrbar ist, und berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Umkehrfunktion h 1 im Punkt Q( 4
9 / ln 3 ( )), ohne den Funk- tionsterm h 1 ( ) zu bestimmen. x
Der Graph von h = g
1ist nach 1.2 in [ 0 ; ∞ [ streng monoton fallend, also umkehrbar.
Steigung der Tangente: mh 1
g' ln 3 ( ( ) 1 )
mh 9
4
Funktionsterm der Tangente: t x ( ) mh x 4
9
ln 3 ( )
t x ( ) ln 3 ( ) 9 x
4 1
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
1.5
1
0.5 0.5
1 1.5 2 2.5 3
Graph der Funktion h Punkt P
Graph der Umkehrfunktion Tangente
Berührpunkt Q Winkelhalbierende
Graph von Funktion und Umkehrfunktion
x-Achse
y-Achse
Teilaufgabe 1.4.2 (5 BE)
Ermitteln Sie nun den Term der Umkehrfunktion h 1 sowie deren Definitionsmenge.
Definitionsmenge von h: Dh = [ 0 ; ∞ [ Wertemenge von h: Wh = [ 1 ; 0 ]
Definitionsmenge von h
-1: D
h
1= [ 1 ; 0 ]
Funktionsterm von h: y = e x 1 2
Vertauschung der Variablen: x = e y 1 2
⇔ x = e y 1 2 ⇔ ± x = e y 1 ⇔ e y = 1 ± x Mit der Definitionsmenge der Umkehrfunktion gilt das negative Vorzeichen:
e y = 1 x ⇔ y = ln 1 x ⇔ y = ln 1 x
Funktionsterm der Umkehrfunktion: h 1 ( ) x = ln 1 x
Teilaufgabe 1.5.0
Gegeben ist weiter die Integralfunktion G durch G x ( )
1 x
g1 t ( ) t
d
= mit Dg IR = .
Teilaufgabe 1.5.1 (4 BE)
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten und die x-Koordinate des Wendepunkts des Graphen von G sowie die Anzahl der Nullstellen von G.
Monotonieverhalten von G, also Betrachtung des Vorzeichens von G' x ( ) = g1 Da G stetig ist, ist der Graph von G ist streng monoton fallend in IR.
G 0 ( )
1
1 g1 t ( ) t
d
= = 0 ⇒ x0 = 1 ist die einzige Nullstelle
Wendestelle von G ⇔ Extremstelle von G' = g1 ⇔ xW 0 =
Teilaufgabe 1.5.2 (4 BE)
Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von G x ( ).
G x ( )
1 x
t e t 1
2
d
=
1 x
t e 2 t
2e t 1
d
=
G x ( ) 1
2 e 2 x 2 e x x 1
2
e
2
2 e 1
=
G x ( ) 1
2 e 2 x 2 e x x 1 2 e 2
2 e 1
2 1 0 1 2 3 4
4
3
2
1 1 2 3 4
Graph von g1 Graph von G
Graph von Funktion und Integralfunktion
x-Achse
y-Achse
Teilaufgabe 1.6.0
Betrachtet wird nun die Funktion f x ( ) = arccos g1 x ( ) mit der maximalen Definitionsmenge Df ⊆ IR.
Teilaufgabe 1.6.1 (8 BE)
Bestimmen Sie Df . Geben Sie die Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von f an und
begründen Sie Ihre Aussagen.
Mathcad-Darstellung: arccos x ( ) acos x ( ) f x ( ) = arccos g1 x ( )
f x ( ) arccos e x 1 2
Es muss gelten: 1 e x 1 2
1
Linke Seite: e x 1 2 1 ⇔ e x 1 2 1 auflösen x ln 2 ( ) x Rechte Seite: e x 1 2 1 ⇔ e x 1 2 1 auflösen x x ∈ ℝ Definitionsmenge: D = [ ln 2 ( ) ; ∞ [
Ableitungsfunktion allgemein: f' x ( ) 1
1 g1 x ( ) 2 g'1 x ( )
=
Die Wurzel ist immer positiv, das heißt f' x ( ) und g'1 x ( ) haben umgekehrtes Vorzeichen.
Monotonieverhalten:
G
fist streng monoton fallend für x ∈ [ ln 2 ( ) ; 0 ].
G
fist streng monoton steigend für x ∈ [ 0 ; ∞ [.
f 0 ( ) π
2 1.571 ⇒ relativer Tiefpunkt TP( 0 ; π 2 )
Extremum auf dem Rand: f ( ln 2 ( ) ) π Hochpunkt: HP( ln 2 ( ) ; π )
Teilaufgabe 1.6.2 (4 BE)
Ermitteln Sie das Verhalten von f x ( ) für x → ∞ und zeichnen Sie den Graphen von f unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1.3.
x
∞arccos e x 1 2
lim
π ⇒ Horizontale Asymptote y = π
2 1 0 1 2 3 4 5 6 1
2 3 4
Graph von f
Hochpunkt auf dem Rand rel. Tiefpunkt
Graph von f mit Extrempunkten
x-Achse
y-Achse
π
ln 2 ( )
0 1 2 3 4 5
2 4 6 8
Axialschnitt:
x-Achse
y-Achse
Teilaufgabe 2 (5 BE)
Die Form eines speziellen Spritzgussteils entsteht durch Rotation des Graphen einer Funktion k mit k x ( ) e x
e x 2
und Dk = [2 ; 4] um die
x-Achse.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Volumeninhalts auf eine Nachkommastelle.
V π
2 4
x k x ( ) ( ) 2
d
= π
2 4
e x x e x 2
2
d
= π
2 4
e 2 x x e x 2
d
=
Substitution: t x ( ) e x 2 dt
dx = e x dx dt
e x
=
Grenzen: t 2 ( ) e 2 2 t 4 ( ) e 4 2
V π t 2 ( )
t 4 ( )
e 2 x t t e x
d
= π
e
2 2 e
4 2
e x t t
d
= π
e
2 2 e
4 2
t 2 t t
d
= π
e
2 2 e
4 2
t 1 2
t
d
=
Stammfunktion: T t ( ) = t 2 ln t
V π e 4 2 2 ln e 4 2 e 2 2 2 ln e 2 2 V 162.6
Mathcad-Darstellung: Vx π 2
4
x k x ( ) ( ) 2
d
Vx 162.6
Definitionen
Rotationskörper
Teilaufgabe 3 (6 BE)
Ein spezieller Fallschirm gehorcht beim Sinkflug folgender Differentialgleichung:
v' 1
20 25 v 2
= .
Dabei steht v t ( ) für die Maßzahl der Geschwindigkeit in m
s mit 0 v 5 und t für die Maßzahl der Zeit in s mit t 0 .
Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differentialgleichung für v 0 ( ) = 0 .
Verwendung des Differentialquotienten: dv dt
1
20 25 v 2
=
Separation der Variablen: dv 25 v 2
1 20 dt
=
Integration:
1 v 25 v 2
d 1
20 1 t
d
=
Partialbruchzerlegung:
1 25 v 2
A 5 v
B 5 v
= A 5 ( v ) B 5 ( v ) 25 v 2
= ( A B ) v 5 A ( B ) 25 v 2
=
Koeffizientenvergleich:
Vorgabe
A B = 0 A B 1
= 5
Suchen A B ( ) 1 10
1 10
A 5 v
B 5 v
1
10 1 5 v
1
10 1 5 v
=
Durchführung der linken Seite der Integration:
1 v 25 v 2
d 1
10 1 v
5 v 1 5 v
d
= 1
10 ( ln 5 v ln 5 v )
= 1
10 ln 5 v 5 v
=
Bemerkung: Der Betrag kann wegen der Definitionsmenge von v weggelaseen werden.
Durchführung der rechten Seite der Integration:
1
20 1 t
d
C C t
20
Integralgleichung: 1
10 ln 5 v 5 v
t
20 C
=
Anfangsbedingung: v 0 ( ) = 0 1
10 ln 5 0 5 0
0
20 C
= auflösen C 0
⇒ 1
10 ln 5 v 5 v
t
= 20 auflösen v 5 e t
2 5
e t 2 1
Partikuläre Lösung v t ( ) 5 e t
2 5
e t 2 1
1 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
Graph der partikulären Lösung
x-Achse
y-Achse
