cosh x x =sinh =1 / coth x . x 2 2sowietanh x =e , sinh x =e +e − e x − x x − x AnalogzurDefinitiondertrigonometrischenFunktionenmitHilfederFormelvonEuler-Moivredefiniertmancosh Hyperbelfuntionen

Hyperbelfuntionen

Analog zur Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre definiert man

coshx= e^x+ e^−x

2 , sinhx = e^x −e^−x 2 sowie

tanhx = sinhx

coshx = 1/cothx.

Die Bezeichnung Hyperbelfunktionen bezieht sich auf die Identit¨at cosh²x−sinh²x= 1

Diese impliziert, dass durcht 7→(cosht,sinht) ein Zweig einer Hyperbel parametrisiert wird.

Die Umkehrfunktionen lassen sich explizit angeben:

arsinhx = ln(x+p

x²+ 1), −∞<x<∞ arcoshx = ln(x+p

x²−1), 1≤x<∞ artanhx = 1

2ln1 +x

1−x, −1<x <1 arcothx = 1

lnx+ 1

− , −∞<x<−1 ∨ 1<x <∞

Die Ableitungen und Stammfunktionen der Hyperbelfunktionen sind

d/dx R

. . . dx cosh sinhx sinhx+C

sinh coshx coshx+C tanh cosh⁻²x ln|coshx|+C coth −sinh⁻²x ln|sinhx|+C

Analog zu den trigonometrischen Funktionen gelten die Identi¨aten sinh(−x) = −sinhx

cosh(−x) = coshx

sinh(x+y) = sinhxcoshy+ coshxsinhy cosh(x+y) = coshxcoshy+ sinhxsinhy cosh²x−sinh²x = 1,

die sich durch Einsetzen der Definitionen verifizieren lassen.

Beweis

(i) Umkehrfunktionen:

Sinus Hyperbolikus

Multiplikation von y = sinhx= (e^x −e^−x)/2 mit 2e^x =⇒ (e^x)²−2ye^x −1 = 0

positive L¨osung

e^x = h

y+p y²+ 1

i

x = arsinhy = ln[. . .]

Kosinus Hyperbolikus

analog: y= coshx= (e^x+ e^−x)/2≥0 =⇒ (e^x)²−2ye^x + 1 = 0, e^x =h

y±p

y²−1i Zweig mit x≥0⇔ e^x ≥1:x = arcoshy = ln[. . .+. . .]

(y ≥1 =⇒ [. . .+. . .]≥1)

Tangens Hyperbolikus

y= sinhx

coshx = e^x−e^−x e^x+ e^−x

Erweitern des Bruches mit e^x und Aufl¨osen nachz = e^2x y = e^2x−1

e^2x+ 1, yz+y =z −1, z = 1 +y 1−y , und x = artanhy = (lnz)/2

Kotangens Hyperbolikus analog:

y = cothx = e^x + e^−x

e^x −e^−x = z + 1

z −1, z = e^2x und

x= arcothy = (lnz)/2, z = y+ 1 y−1

(ii) Hyperbelgleichung:

x = cosht,y = sinht, binomische Formel =⇒ x²−y² =

e^t+ e^−t 2

2

−

e^t−e^−t 2

2

= 1

4

e^2t+ 2 + e^−2t 2

−1 4

e^2t−2 + e^−2t 2

= 2

4 +2 4 = 1

Beispiel

H¨oheh eines an den Endpunkten befestigten Kabels

physikalisches Modell Differentialgleichung h⁰⁰= 1

a q

1 + (h⁰)²

separable Differentialgleichung erster Ordnung f¨urH(x) =h⁰(x) H⁰(x)

p1 +H(x)² = 1 a (d/dH) arsinhH= 1/√

1 +H² =⇒ Z 1

p1 +H(x)²

dH(x) dx dx =

Z 1

√1 +H² dH = arsinhH+C,

d.h. Integration der Differentialgleichung arsinhH(x) +C =

Z 1

adx = x

a ⇔ H(x) = sinh(x/a−C) nochmalige Integration

h(x) =acosh(x/a−C) + ˜C

Randbedingungen h(±d) = 0 C = 0, ˜C =−acosh(d/a), d.h.

h(x) =a(cosh(x/a)−cosh(d/a))