1. Was ist die Ableitung der folgenden Funktion ? φ(x) =

Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

3. Vorlesung Michael Karow

Themen heute:

1. Gew¨ohnliche Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung (a) Definition

(b) Beispiele

(c) der skalare Fall

Fragen an das Auditorium:

1. Was ist die Ableitung der folgenden Funktion ? φ(x) =

Z _x

5

u sin(u) du

2. Behauptung: In den Bildern unten sind jeweils zwei Integralkurven der DGL

y

(x) = x

sin(y(x) − 7) gezeichnet. Kann das stimmen?

y

x 1

1

y

x 1

1

Antworten zu den Eingangsfragen:

1. Die Ableitung der Funktion

φ(x) =

Z _x

5

u sin(u) du ist

φ

(x) = x sin(x)

nach dem Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung.

2. Linkes Bild: Nein. Wenn die Kurven L¨ osungen der derselben DGL w¨ aren, m¨ ussten sie am Schnittpunkt auch dieselbe Steigung haben.

Nein, denn die rechte Seite der DGL

y

= x

sin(y − 7)

ist stetig und stetig partiell nach y diffenzierbar. Nach dem Satz von Picard-Lindel¨ of gibt es daher zu jedem Anfangswert

nur eine Integralkurve. ⇒ Integralkurven schneiden sich nicht.

Definition: Gew¨ ohnliche Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Ein System von Differentialgleichnungen der Form

y˙1 = a11(t)y1 + a12(t)y2 + . . . + a1n(t)yn + b1(t) y˙2 = a21(t)y1 + a22(t)y2 + . . . + a2n(t)yn + b2(t)

... ... ... ...

y˙n = an1(t)y1 + an2(t)y2 + . . . +ann(t)yn + bn(t) nennt man ein lineares System gew¨ohnlicher DGL 1. Ordnung.

Gesucht sind die n Funktionen y_k = y_k(t).

Schreibweise in Matrix-Vektor-Form:





 y˙1

y˙2

...

y˙n







=







a11(t) a12(t) · · · a1n(t) a21(t) a22(t) · · · a2n(t)

... ...

an1(t) an2(t) · · · ann(t)











 y1

y2

...

yn





 +







b1(t) b2(t)

...

bn(t)







Kurz:

˙

y = A(t)y + b(t). A(t) ∈ C^n×n _und b(t),y(t) ∈ Cⁿ

Terminologie:

1. Die vektorwertige Funktion b(·) nennt man St¨orfunktion oder Eingangsfunktion.

2. Das System heisst homogen, falls b(·) nicht vorhanden ist (d.h. b_{(t) ≡} 0), sonst inhomogen.

3. Wenn die Matrix A(·) nicht von t abh¨angt, also A(t) = const = A, dann handelt es sich um ein System mit konstanten Koeffizienten.

Motivation: Warum wir lineare DGL betrachten

1. Lineare DGL (auch h¨oherer Ordnung) kommen in den Anwendungen h¨aufig vor.

2. Die Struktur der L¨osung linearer DGL ist im Vergleich zu anderen DGL leicht zu verstehen.

3. Oft vereinfacht man schwierige DGL, indem man sie durch ¨ahnliche aber lineare ersetzt (Linearisierung).

Beispiel: Pendel mit ver¨anderlicher L¨ange ℓ(t) = Pendell¨ange

f_T(t) = tangentialer Anteil der angreifenden Kraft f(t) g = Fallbeschleunigung

m = Masse

00 11 0000

1111 0000 1111 0000 1111

0000 00 1111 11 00

0011 11

φ

f fT

l

Bewegungsgleichung (DGL 2. Ordnung):

m ℓφ¨ = −m g sin(φ) − 2m ℓℓ˙φ˙ + f_T.

Durch Einf¨uhren der Winkelgeschwindigkeit ω erh¨alt man ein System 1. Ordnung:

φ˙ = ω, m ℓω˙ = −m g sin(φ) − 2m ℓℓ ω˙ + f_T. Bei kleinen Auslenkungen φ kann man linearisieren (sin(φ) ≈ φ):

φ˙ = ω, m ℓω˙ = −m g φ − 2m ℓℓ ω˙ + fT.

Dieses lineare System kann man in Matrix-Vektor-Form hinschreiben:

_˙ φ(t) ω˙(t)

=

_{0 1}

−g/ℓ(t) −2 ˙ℓ(t)/ℓ(t)

φ(t) ω(t)

+

₀

f_T(t)/(m ℓ(t))

Dies ist eine DGL der Form:

˙

y(t) = A(t)y(t) + b(t).

Beispiel: Gekoppelte Federpendel

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1

000 111 000 111 000 111

00 00 0 11 11 1

0 0

m

m u

u2

1

2 s

s 1

1

2

f

Notation:

u_k=Auslenkung von Masse k aus der Ruhelage s_k=Steifigkeit von Feder k

m_k=Masse k

f(t)=¨aussere Kraft auf Masse 2 Bewegungsgleichungen:

m1u¨1 = −s1u1 + s2 (u2 − u1) m2u¨2 = −s2(u2 − u1) + f(t) Bewegungsgleichungen in Matrixform:

¨u1

¨u2

| {z }

¨ u

= −

(s1 + s2)/m1 −s2/m1

−s2/m2 s2/m2

| {z }

G

u1

u2

| {z }

u

+

0 f(t)/m2

| {z }

p

Einf¨uhrung der Geschwindigkeit v als Variable ergibt ein System 1. Ordnung:

v = u˙_, v˙ = −G u + p_.

Beide Gleichungen kann man zu einer zusammenfassen:

u˙

˙ v

=

0 I

−G 0 u v

+

0 p

. I=Einheitsmatrix

Dies ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, d.h. sie ist vom Typ

˙

y(t) = A y(t) + b(t).

Lineare Kompartimentmodelle (siehe Heuser)

Gegeben sind einige (wirkliche oder fiktive) Beh¨alter (Kompartimente).

Eine Substanz kann von einem Beh¨alter in die anderen ’hin¨uberwandern’.

Die Abflussrate vom Beh¨alter i in den Beh¨alter j ist dabei proportional zur Menge der im Beh¨alter i vorhandenen Substanzmenge mi.

Der Proportionalit¨atsfaktor ist kij ≥ 0.

Ausserdem gibt des Zu- und Abfl¨usse aus der bzw. in die Umgebung.

Beispiel: Bleiakkumulation im K¨orper Differentialgleichungen:

m˙ 1 = −(k12 + k13 + k14)m1 + k21 m2 + k31 m3 + b(t) m˙ 2 = k12m1 − k21m2

m˙ 3 = k13m1 − k31m3

DGL in Matrix-Vektor-Schreibweise:



 m˙ 1

m˙ 2

m˙ 3



 ⁼





−(k12 + k13 + k14) k21 k31

k12 −k21 0

k13 0 −k31







 m1

m2

m3



 ⁺



 b(t)

0 0





Es handelt sich um eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten:

˙

y(t) = A y(t) + b(t).

Knochen Blut

Nahrung Luft

Gewebe

m m m

k k

k

21

k12

Ausscheidung k14

b(t)

3 1 2

31

13

Beispiel: Ein einfacher Stromkreis mit Spule (Induktivit¨at L)

R(t)

I(t) R₀

U(t)

L

Spannungsquelle− > < −Verbraucher (z.B. Lampe)

↑

ver¨anderlicher Widerstand

Induktionsspannung: U_ind(t) = LI˙(t)

Spannungsbilanz: U(t) = R(t)I(t) + R0I(t) + LI˙(t) Umstellen ergibt:

I˙(t) = −R(t) + R0

L I(t) + U(t) L .

Dies ist eine (skalare) lineare DGL 1. Ordnung, d.h. sie ist vom Typ y(t) =˙ a(t)y(t) +b(t).

Die homogene skalare lineare DGL 1. Ordnung:

y ˙ ( t ) = a ( t ) y ( t ) a ( t ) ∈ C _{stetig ( ∗ )}

Sei as(·) eine beliebige Stammfunktion von a(·), d.h. a˙s(t) = a(t).

Dann lautet die allgemeine L¨osung von (∗) in verschiedenen Schreibweisen:

y(t) = c e

= e

c = exp(a

(t)) c = exp

Z

a(τ ) dτ

c = c e

R a

,

wobei c ∈ C eine beliebig w¨ahlbare Konstante ist.

Die eindeutige L¨osung des AWP

y(t) = ˙ a(t) y(t), y(t

) = y

bekommt man mit der speziellen Wahl as(t) = Rt

t0a(τ)dτ, c = y0. Dann ist n¨amlich

y(t) = exp

Z _t

t0

a(τ)dτ

y0, (∗∗)

und daher y(t0) = exp(0)y0 = y0.

Auffinden der L¨osung durch Trennung der Variablen Die L¨osung (∗∗) (auf vorherigen Seite) f¨ur das AWP

y(t) =˙ a(t)y(t), y(t0) = y0

l¨asst sich leicht durch Raten und Probieren finden (Raten ist erlaubt). Der Satz von Picard-Lindel¨of sichert dann, dass es keine weiteren L¨osungen des AWP gibt. Man kann die L¨osung aber auch mit der Methode der Trennung der Variablen errechnen. Das geht so (wenn alle Gr¨oßen reell sind und y0 6= 0):

y(t) =˙ a(t)y(t)

⇒ a(t) = y(t)˙ y(t)

⇒

Z t t0

a(τ)dτ = Z t

t0

y(τ˙ ) y(τ) dτ

=

Z y(t) y0

1

u du = ln(|u|)|^u=y(t)u=y0 = ln(|y(t)|) − ln(|y0|) = ln

y(t)

y0

↑ Substitution u = y(τ), du = ˙y(τ)dτ

⇒ exp

Z _t

t0

a(τ)dτ

= exp

ln

y(t)

y0

=

y(t) y0

⁼

y(t) y0

↑ weil exp(·) > 0

⇒ y(t) = exp

Z t t0

a(τ)dτ

y0

Die inhomogene skalare lineare DGL 1. Ordnung:

y(t) = ˙ a(t) y(t) + b(t) a(t), b(t) ∈ C _{stetig ( ∗ )}

Wir wissen bereits, dass die homogene DGL y˙_h = a(t)y_h die allgemeine L¨osung

y_h(t) = exp(a_s(t))c hat, wobei a_s(·) eine Stammfuntion von a(·) und c eine beliebige Konstante ist. F¨ur die inhomogene DGL macht man den Ansatz

y(t) = exp(as(t))c(t). (∗∗)

Die Gr¨oße c ist nun nicht mehr konstant sondern zeitabh¨angig. Der Ansatz heisst Variation der Konstanten

Aus (∗∗) folgen die Gleichungen:

y(t)˙ = a(t) exp(a_s(t))c(t)+ exp(a_s(t)) ˙c(t) a(t)y(t) +b(t) = a(t) exp(a_s(t))c(t)+b(t)

Damit y die DGL (∗) l¨ost, muss also gelten

exp(as(t)) ˙c(t) = b(t). Teilen durch exp(as(t)) ergibt

c(t) =˙ {1/exp(as(t))}b(t) = exp(−as(t))f(t).

Also ist c(·) eine Stammfunktion von exp(−as(t))b(t):

c(t) = c0 + Z

exp(−as(t))b(t)dt (∗ ∗ ∗). irgendeine feste Stammfunktion ↑

Wir halten fest:

F¨ur die L¨osungen der linearen DGL y˙(t) = a(t)y(t) + b(t) gilt die folgende

’Variation der Konstanten’-Formel

beliebige Konstante fest gew¨ahlte Stammfunktion

↓ ↓

y(t) = exp(a _s (t))

c ₀ +

exp( − a _s (t)) b(t) dt

| {z }

↑ c(t)

Stammfunktion von a(·)

Andere Schreibweisen:

y(t) = e^as(t)

c0 + Z

e^−as(t)b(t)dt

= e

R a(t)dt

c0 + Z

e⁻

R a(τ)dτ

b(t)dt

Rechenbeispiel: Eine Aufgabe aus dem ’Heuser’

Aufgabe: Bestimme alle L¨osungen der DGL

y(t) = tan(t)˙ y(t) − 2 sin(t), −π

2 < t < π

2. − − −

↓ L¨osung: Eine Stammfunktion von tan ist R

tan(t)dt = −ln|cos(t)| = −ln(cos(t)).

⇒ Die Funktion exp(R

tan(t)dt) = exp(−ln(cos(t))) = exp(ln(1/cos(t)) = 1/cos(t) l¨ost die homogene DGL (d.h. die DGL ohne den Term −2 sin(t)).

Ansatz (Variation der Konstanten): y(t) = (1/cos(t))c(t)

F¨ur die linke und die rechte Seite der inhomogenen DGL bekommt man:

y(t) = (sin(t)/˙ cos²(t))c(t) + (1/cos(t)) ˙c(t) tan(t)y(t)− 2 sin(t) = (sin(t)/cos²(t))c(t)− 2 sin(t)

Gleichsetzen der linken (und damit auch der rechten) Seiten ergibt:

(1/cos(t)) ˙c(t) = −2 sin(t) ⇒ c(t) =˙ −2 sin(t) cos(t) = −sin(2t)

⇒ c(t) = Z

−sin(2t)dt = cos(2t)

2 + c0.

Alternativer L¨osungsweg: ’Variation der Konstanten’-Formel auswendig lernen, Funktionen einsetzen und Integrale ausrechnen.

Allgemeine und partikul¨ are (spezielle) L¨ osung

Umsortieren der Terme in der ’Variation der Konstanten’-Formel ergibt

y(t) = exp(a

(t))

c

+

Z

exp( − a

(t)) b(t) dt

= exp(a

(t)) c

| {z }

=:y_h(t)

+ exp(a

(t))

Z

exp( − a

(t)) b(t) dt

| {z }

=:y_p(t)

= y

( t ) + y

( t ) .

Kommentar:

1. Der vom Parameter c0 abh¨angige Summand y_h(·) ist die allgemeine L¨osung der homogenen DGL y(t) =˙ a(t)y(t).

2. Der Summand yp(·) ist eine partikul¨are (spezielle) L¨osung der inhomogenen DGL y(t) =˙ a(t)y(t) + b(t).

yp ist nicht eindeutig, sondern h¨angt von der gew¨ahlten Stammfunktion as ab.

N¨utzliche Tatsache:

Hat man (z.B. durch Raten) eine partikul¨are L¨osung yp(·) der inhomogenen DGL y(t) =˙ a(t)y(t) + b(t) gefunden, dann erh¨alt man alle weiteren L¨osungen, indem man die L¨osungen y_h der homogenen DGL y˙(t) = a(t)y(t) dazu addiert: y(t) = y_h(t) + yp(t).

Das AWP zur inhomogenen skalaren linearen DGL 1. Ordnung:

y(t) = ˙ a(t) y(t) + b(t) y(t

) = y

( ∗ )

Wir haben gesehen, dass die L¨osungen der DGL (∗) von folgender Form sind:

y(t) = exp(a_s(t))c(t), c(t) = c0 + Z

exp(−a_s(t))b(t)dt mit einer Stammfunktion as(·) von a(·), einer Konstanten c0 und einer Stammfunktion R

exp(−as(t))b(t)dt. Durch die Wahl as(t) =

Z t t0

a(τ)dτ, c(t) = y0 + Z t

t0

exp(−as(τ))b(τ)dt, bekommt man eine L¨osung des AWP (∗), n¨amlich die Funktion

y(t) = exp(as(t))

y0 + Z t

t0

exp(−as(τ))b(τ)dτ

| {z }

c(t)

= exp(as(t) )y0

| {z }

=:yh(t)

+ Z t

t0

exp(as(t)− as(τ) )b(τ)dτ

| {z }

=:yp(t)

y_h ist die L¨osung des homogenen AWP y˙_h(t) = a(t)y_h(t), y_h(t0) = y0 und yp ist die L¨osung des inhomogenen AWP y˙p(t) = a(t)yp(t) + b(t), yp(t0) = 0.

Spezialfall: a konstant

Im Fall a(t) =konstant= a ist a_s(t) = a t eine Stammfunktion.

Als Startzeit w¨ahlt man in diesem Fall gerne t0 = 0.

Die L¨osung des AWP

y˙(t) = a y(t) + b(t), y(0) = y0

ist dann

y(t) = e^aty0 + Z t

0

e^a(t−τ)b(τ)dτ.

Auch in diesem Spezialfall ist nat¨urlich y(t) = y_h(t) + y_p(t), wobei gilt:

y_h(t) = e^aty0 l¨ost das homogene AWP y˙_h(t) = a y_h(t), y_h(0) = y0, y_p(t) = Rt

0 e^a(t−τ)b(τ)dτ l¨ost das inhomogene AWP y˙_p(t) = a y_p(t) + b(t), y_p(0) = 0.

Terminologie: Integrale der Form Z t

0

f(t− τ)g(τ)dτ

heissen Faltungsintegrale. Sie tauchen als L¨osung inhomogener linearer DGL mit konstanten Koeffizienten (auch h¨oherer Ordnung) in nat¨urlicher Weise auf.

Mehr dazu sp¨ater (siehe auch die VL ’Regelungstechnik’).

Spezielle Rechte Seiten

F¨ur spezielle rechte Seiten b(t) kann man eine partikul¨are L¨osung der DGL y˙ = a y + b(t) mit passenden Ans¨atzen bekommen, ohne das Faltungsintegral berechnen zu m¨ussen.

Die so gewonnene partikul¨are L¨osung erf¨ullt im allgemeinen keine vorgegebene Anfangs- bedingung. Zur Anpassung an diese Bedingung muss man eine geeignete L¨osung der homogenen DGL addieren.

Beispiel: Gegeben sei die DGL y(t) =˙ a y(t) + e^λt Ansatz vom Typ der rechten Seite: yp(t) = c0e^λt Es folgt:

y˙p(t) = c0λ e^λt

a yp(t) + e^λt = (a c0 + 1)e^λt

Gleichsetzen der linken (und damit auch der rechten) Seiten ergibt die Bedingung:

c0 λ = a c0 + 1 Falls λ 6= a, dann folgt weiter

c0λ = a c0 + 1 ⇔ c0(λ − a) = 1 ⇔ c0 = 1/(λ − a).

Somit ist die Funktion

y_p(t) = (1/(λ − a))e^{λ t}

eine partikul¨are L¨osung der obigen DGL. Die allgemeine L¨osung bekommt man, indem man alle L¨osungen der homogenen DGL hinzunimmt:

y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^atc + (1/(λ − a))e^{λ t}, c ∈ C _beliebig

Weiterf¨uhrung des Beispiels: Der Nutzen komplexer Zahlen Wir haben eben gesehen, dass die DGL

y˙(t) = a y(t) + e^λt (∗) die allgemeine L¨osung

y(t) = e^atc + (1/(λ − a))e^{λ t} c ∈ C _beliebig hat. Dabei k¨onnen λ, a beliebige verschiedene komplexe Zahlen sein.

Wir betrachten nun den Spezialfall, dass a, c ∈ R_{, λ = i ω mit ω ∈} R_{\ {0},} und definieren eine Funktion z(·) als den Realteil von y(·):

z(t) := ℜ(y(t)) = ℜ(e^atc + (1/(iω − a))e^{iω t})

= e^atc + ℜ(−_ω^iω+a2_+a² e^{iω t})

= e^atc + ℜ((ω² + a²)^−1/2e^iφe^{iω t})

= e^atc + (ω² +a²)^−1/2ℜ(e^{i(φ+ω t)})

= e^atc + (ω² +a²)^−1/2 cos(φ+ ω t)

ω +a

ω +a ω +a

2 2

2 2

2 2

−a

−iω

ω+a

ω−a

= i 1 i

Re φ

Im

Da y(·) die DGL (∗) f¨ur λ = iω l¨ost, folgt f¨ur z(·):

z˙(t) = ℜ( ˙y(t)) = ℜ(a y(t) + e^iωt) = a z(t) + cos(ωt)

Die Funktion z(·) ist also eine L¨osung einer linearen DGL mit der Inhomogenit¨at cos(ωt).

Der in der Definition von z(·) enthaltene freie Parameter c l¨asst sich an eine vorgegebene Anfangsbedingung anpassen.

Zusammenfassung: Die DGL z˙(t) = a z(t) + cos(ωt) hat die allgemeine reelle L¨osung z(t) = e^atc + (ω² + a²)^−1/2 cos(φ+ ω t), c ∈ R

mit der Phasenverschiebung φ wie im Bild. tan(φ) = ω/a.

Anwendung: Der Stromkeis mit Spule

R(t)

I(t) R₀

U(t)

L

AWP: I˙(t) = −R(t) + R0

L I(t) + U(t)

L , I(0) = I0.

3 F¨alle (mit aufsteigender Allgemeinheit):

1. R(t) ≡ 0 und U(t) = U0 cos(ω t): Die allgemeine L¨osung ist I(t) = c e^−(R0/L)t + U0

L (R0/L)² + ω²₋1/2

cos(ω t + φ), tan(φ) = ω/(−R0/L).

Den freien Parameter c kann man an die Anfangsbedingung anpassen.

2. R(t) ≡ 0 und U(·) beliebig: Dann gilt die Formel mit dem Faltungsintegral, I(t) = I0 e^−(R0/L)t +

Z t 0

e^{−(R0/L) (t−τ)}(U(τ)/L)dτ.

3. R(·) 6≡ 0: In diesem Fall muss man die allgemeine ’Variation der Konstanten’-Methode anwenden. Die L¨osung des AWP ist

I(t) = I0 e^as(t) + Z t

0

e^{as(t)−as(τ)}(U(τ)/L)dτ, as(t) = Z t

0 −(R(τ) + R0)/L dτ.

Kommentar zum Langzeitverhalten der L¨osung im Fall R(t) ≡ 0:

Im Fall, dass der regelbare Widerstand nicht vorhanden ist, hat man die DGL I˙(t) = −R0

L I(t) + U(t) L , mit der allgemeinen L¨osung

y(t) = e

c

| {z } y_h(t)

+y

(t),

wobei man f¨ur die partikul¨are L¨osung yp z.B. nehmen kann yp(t) =







U0

L (R0/L)² + ω²₋1/2

cos(ω t + φ) falls U(t) = U0 cos(ω t) Rt

0 e^{−(R0/L) (t−τ)}(U(τ)/L)dτ bei beliebigem U(t)

Der Anteil y_h(t) f¨allt exonentiell gegen 0, so dass y(t) sich mit wachsendem t der parti- kul¨aren L¨osung y_p(t) immer mehr ann¨ahert. Man nennt die L¨osung y_p daher stabil oder attraktiv. Mehr dazu sp¨ater.

Bild:

verschiedene Integralkurven

und die attraktive L¨osung yp (Mitte) bei Wechselspannung

0 10 20 30 40 50 60

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

Unstetige Funktionen

In der Herleitung der ’Variation der Konstanten’-Formel f¨ur die DGL y(t) =˙ a(t)y(t) + b(t)

wurde angenommen, dass die Funktionen a(·) und b(·) stetig sind.

In der Praxis kommt aber auch der Fall unstetiger Funktionen vor.

Etwa wenn in einem Stromkreis ein Schalter umgelegt wird:

R(t)

I(t) R₀

L

U(t)

Die ’Variation der Konstanten’-Formel y(t) = exp(as(t))

y0 + Z t

t0

exp(−as(τ))b(τ)dτ

, as(t) = Z t

t0

a(τ)dτ

gibt aber auch in diesem Fall korrekte L¨osungen. Die Funktion y(t) ist dann zwar

stetig, aber an den Unstetigkeitsstellen von a(·) und b(·) vielleicht nicht differenzierbar.

Sie kann dort einen Knick haben.

Bild:

Stromst¨arke

bei Wechselspannung

und Umlegen des Schalters

−5 0 5 10 15 20

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Die Bernoulli-Differentialgleichung:

Jacob Bernoulli, 1654-1705 Die Bernoulli-Differentialgleichung lautet

y˙ = a(t)y + b(t)y^α, α 6= 1 (∗)

Diese DGL l¨asst sich folgendermaßen auf eine lineare DGL zur¨uckf¨uhren:

Multiplikation von (∗) mit (1− α)y^−α ergibt:

(1− α)y^−αy˙ = a(t)(1 − α)y^−αy + b(t)(1 − α)y^−αy^α, also

d

dt(y^1−α) = {a(t)(1 − α)}y^1−α + {b(t)(1 − α)}. Dies ist eine lineare DGL f¨ur die Funktion z = y^1−α.

L¨osungen von (∗) bekommt man also, indem man zun¨achst die L¨osungen von d

dtz = {a(t)(1− α)}z + {b(t)(1 − α)}

bestimmt und dann y = z^1/(1−α) setzt. Bei diesem letzten Schritt ist allerdings einiges zu beachten. Siehe z.B. Walter:’Gew¨ohnliche Differentialgleichung’

Auch die DGL y˙ = √y mit nicht eindeutiger L¨osung zum AWP y(0) = 0 ist eine Bernoullische.

Beispiele zum Erkennen des DGL-Typs

Manchmal ist der Typ einer DGL f¨ur den Unge¨ubten vielleicht nicht auf den ersten Blick zu erkennen. Beispiele:

Gegeben seien die DGL:

1. y^′ = x + y 2. x˙ = x + t

3. _x^y₂^′ − y + sin(x) = x 4. y^′/√y = sin(x)√y + 1

Bei den Gleichungen 1-3 handelt es sich um lineare DGL.

Gleichung 4 ist eine Bernoulli-DGL.

In 1,3 und 4 ist y als Funktion von x gesucht.

In Gleichung 2 ist x eine Funktion von t. Aquivalente Umformungen von 1-4 sind:¨ 1. y^′ = 1· y + x

2. x˙ = 1· x + t

3. y^′ = x²y + x²(x− sin(x)) 4. y^′ = sin(x)y + 1 · y^1/2