f(x) x∈[0, π], f(2π−x) x∈[π,2π], 2π-periodisch aufR fortgesetzt

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

SINADAHM

28. NOVEMBER2018

Numerik II – 8. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 27: Bestimmen Sie durch trigonometrische Interpolation auf dem Intervall [0,2π] eine Funktion He mitH(t) =e H(t) f¨ur die in der Tabelle angegebenen Werte.

t_j 0 2π/3 4π/3 H 1.0 −0.5 −0.5

Aufgabe 28: Ist f : [0, π]→R gegeben mit f(0) =f(π) = 0, so gibt es mehrere M¨oglichkeiten diese Funktion 2π-periodisch fortzusetzen. Sei x_k =k_n+1^2π , k= 0, ..., n= 2m+ 1.Zeigen Sie:

(a) Die gerade Fortsetzung

f˜(x) =







f(x) x∈[0, π],

f(2π−x) x∈[π,2π],

2π-periodisch aufR fortgesetzt.

Wird interpoliert durch

s(x) = 1 2a0+

m+1

X

k=1

akcos(kx), ak= 2 m+ 1

m

X

j=1

f˜(xj) cos(jxk).

(b) Die ungerade Fortsetzung

f˜(x) =







f(x) x∈[0, π],

−f(2π−x) x∈[π,2π], 2π-periodisch aufR fortgesetzt.

Wird interpoliert durch

s(x) =

m

X

k=1

b_ksin(kx), b_k= 2 m+ 1

m

X

j=1

f(x˜ j) sin(jx_k).

(c) Die π-periodische Fortsetzung

f˜(x) =







f(x) x∈[0, π],

f(x−π) x∈[π,2π],

2π-periodisch aufR fortgesetzt.

Wird interpoliert durch

s(x) = 1 2a₀+

m

X

k=2

(a_kcos(kx) +b_ksin(kx)) + 1

2a_m+1cos((m+ 1)x),

a_k= ( ₂

m+1

Pm

j=1f˜(x_j) cos(jx_k) k gerade,

0 sonst,

b_k= ( ₂

m+1

Pm

j=1f˜(xj) sin(jx_k) k gerade,

0 sonst.

Aufgabe 29: Von der Funktion f seien folgende Werte bekannt:

x_j 0 ^π₆ ^2π₆ ^3π₆ ^4π₆ ^5π₆ π y_j =f(x_j) 0 0.6 0.4 −0.4 −0.8 −0.2 0

• Setzen Sie diese Funktion mit den drei in Aufgabe 28 diskutierten M¨oglichkeiten auf 2π fort.

• Ploten Sie die drei Funktion in einem gemeinsamen Graph. (2P)

• Interpolieren sie die drei Funktion mittels trigonometrischer Interpolation. (1P)

• Plotten Sie die drei Interpolierenden in einem gemeinsamen Graph. (3P)

Aufgabe 30: Berechnen Sie k_even und k_odd aus Algorithmus 3.6 f¨urn= 16.

Abgabe am 5. Dezember 2018 am Beginn der Vorlesung.

Besprechung in den ¨Ubungen ab 12. Dezember 2018.