(a) Berechnen Sie die Kurvenpunkte f¨ur 0 ≤ t < 2π, ∆t = π

Analysis II: ¨ Ubungsblatt Differentialgeometrie 1. Gegeben sei die Kardioide (Herzkurve) in Parameterform

C : x(t) = 2(2 cos t − cos(2t)), y(t) = 2(2 sin t − sin(2t)), 0 ≤ t < 2π.

(a) Berechnen Sie die Kurvenpunkte f¨ur 0 ≤ t < 2π, ∆t = π

6 und zeichnen Sie die Kurve.

(b) Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt von C.

2. Gegeben sei die archimedische Spirale in Polarkoordinaten C : r(ϕ) = ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

(a) Zeichnen Sie die Kurve mithilfe folgender Winkel: 0, π 4 , π

2 , 3π 4 , π, 5π

4 , 3π 2 , 7π

4 , 2π (b) Berechnen Sie den Sektor-Fl¨acheninhalt von C f¨ur 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

(c) Berechnen Sie die Bogenl¨ange von C.

3. Berechnen Sie die Bogenl¨ange der folgenden Kurve C : x(t) = t

, y(t) = t −

t

, t ∈ [0, T ] 4. Welche L¨ange hat y(x) = 2x

im Interval [0; 2]?

5. Welche Kr¨ummung hat die Kurve mit der Gleichung r = a

2 cos(2ϕ) im Punkt P

= (ϕ

= π 6 )?

6. Berechnen Sie den Kr¨ummungsradius im Scheitelpunkt der Parabel y = ax

7. Gegeben sei die Kurve C : x = cos t, y = sin(3t), 0 ≤ t ≤ π in Parameterdarstellung

(a) Ermitteln Sie die Nullstellen der Kurve C und geben Sie die zugeh¨origen Parameterwerte t sowie die Werte der Nullstellen x(t) an.

(b) Ermitteln Sie die Parameterwerte t

, f¨ur die die Tangente horizontal und die Parameterwerte t

, f¨ur die die Tangente vertikal ist. Geben Sie außerdem die zugeh¨origen x, y Werte an.

(c) Berechnen Sie die Kr¨ummung κ, den Kr¨ummungskreisradius und -mittelpunkt f¨ur t = π/2 = 90

. (d) Zeichnen Sie C und den Kr¨ummungskreis aufgrund der obigen Erkenntnisse mit dem Maßstab 1

LE = 5 cm.

1

Analysis II: L ¨ OSUNGEN: Differentialgeometrie 1. Gegeben sei die Kardioide (Herzkurve) in Parameterform

C : x(t) = 2(2 cos t − cos(2t)), y(t) = 2(2 sin t − sin(2t)), 0 ≤ t < 2π.

(a)

t x y

0 2 0

π6

2,46 0,27

π3

3 1,73

π2

2 4

2π

3

-1 5,19

5π6

-4,46 3,73

π -6 0

7π

6

-4,46 -3,73

4π3

-1 -5,19

3π2

2 -4

5π

3

3 -1,73

11π6

2,46 -0,27

2π 2 0

(b) A = 24π

2. Gegeben sei die archimedische Spirale in Polarkoordinaten C : r(ϕ) = ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

(a)

(b) A = 4π

3 = 41, 34 (c) s = π √

1 + 4π

+

arsinh(2π)= 21,26 3. s = T + T

3 4. s = √

65 + 1

8 arsinh(8) = 8,41 5. r(

) = a, r( ˙

) = −a √

3 = −1, 732a, r( ¨

) = −5a = ⇒ κ = 3 2a 6. κ = 2a

7. Gegeben sei die Kurve C : x = cos t, y = sin(3t), 0 ≤ t ≤ π in Parameterdarstellung (a) t

= 0, x

= 1; t

=

, x

=

; t

=

, x

= −

; t

= π, x

= −1;

(b) t

=

, x

=

, y

= 1; t

=

, x

= 0, y

= −1; t

=

, x

=

, y

= 1;

t

= 0, x

= 1, y

= 0; t

= π, x

= −1, y

= 0;

(c) κ = −9; Radius: r = 1

9 ; Mittelpunkt: x

= 0, y

= − 8 9

2