f¨ur t = π/2 ein, so bekommt man die Gleichung 0 =k1eπ/2+k2cos(π/2

Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2

Dr. Caroline L¨obhard

Sommersemester 2016, L¨osungsvorschl¨age zu Blatt 1, ohne Gew¨ahr, Seite 1 von 1

S 1.5.Entscheiden Sie jeweils, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung.

a) Die Funktionen e^t und cos(t) sind linear unabh¨angig. Wahr. Angenommen, es sind k₁, k₂ ∈ R gegeben so dass f¨ur alle t ∈ R gilt: k₁e^t +k₂cos(t) = 0. Setzt man z.B. f¨ur t = π/2 ein, so bekommt man die Gleichung 0 =k1e^π/2+k2cos(π/2) = k1e^π/2. Also mussk1 = 0 gelten. Setzt man z.B.t= 0, so folgt wegen 0 = 0·e⁰+k2cos(0) =k2, dass k2 = 0 ist.

b) Die Funktionen t² und 2t² sind linear unabh¨angig. Falsch. Es gilt zum Beispiel f¨urk1 = 2 und k₂ =−1, dass k₁t²+k₂·2t²= 2t²−2t² = 0 ist.

c) Jede lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist explizit. Wahr. Eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besitzt die Form

any⁽ⁿ⁾(t) +an+1y⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +. . . a1y⁰(t) +a0y(t) =h(t),

wobeia0, a1, . . . , an−1, an∈ RKonstanten sind, und an6= 0 sein muss (vgl. Def.1.1). Also kann man die Gleichung nachy⁽ⁿ⁾(t) umstellen.

d) Es seiy1 eine L¨osung der Differentialgleichungy⁽ⁿ⁾₁ (t) =f1(t, y1(t), . . . , y₁⁽ⁿ⁻¹⁾(t)), undy2 sei eine L¨osung vony₂⁽ⁿ⁾(t) =f₂(t, y₂(t), . . . , y₂⁽ⁿ⁻¹⁾(t)). Dann erf¨ullty=y₁+y₂ die Gleichung

y⁽ⁿ⁾(t) =f1(t, y(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) +f2(t, y(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)).

Wahr:

y⁽ⁿ⁾(t) = (y₁+y₂)⁽ⁿ⁾(t) =y₁⁽ⁿ⁾(t) +y⁽ⁿ⁾₂ (t) =f₁(t, y(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) +f₂(t, y(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)).

S 1.6.Wir betrachten die Differentialgleichungy⁰⁰⁰(t)−4y⁰(t) = 27t²e^t. F¨ur Parameterp₀, p₁, p₂ ∈R seiy_p(t) = (p₂t²+p₁t+p₀)e^t ein Ansatz f¨ur eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung.

a) Berechnen Siey_p⁰(t) undy_p⁰⁰(t).

y_p⁰(t) = (p₂t²+ (2p₂+p₁)t+p₁+p₀)e^t, y⁰⁰_p(t) = (p₂t²+ (4p₂+p₁)t+ 2p₂+ 2p₁+p₀)e^t. b) Bestimmen Sie die Parameterp₀, p₁, p₂ ∈Rso, dassy_pdie Differentialgleichung l¨ost, indem Siey_p

in die Differentialgleichung einsetzen.

y⁰⁰⁰_p(t) = (p₂t²+ (6p₂+p₁)t+ 6p₂+ 3p₁+p₀)e^t, Einsetzen in die Differentialgleichung liefert

27t²e^t=y⁰⁰⁰_p(t)−4y_p⁰(t) = (p2t²+ (6p2+p1)t+ 6p2+ 3p1+p0)e^t−4(p2t²+(2p2+p1)t+p1+p0)e^t

= (−3p₂t²−(2p2+ 3p1)t+ 6p2−p1−3p0)e^t.

Diese Gleichung kann man durch e^t teilen (das ist nie Null) und erh¨alt durch Koeffizientenver-

gleich −3p₂= 27 ⇒ p2 =−9,

−(2p₂+ 3p₁) = 0 ⇒ p₁ = 1

3(−2)p₂= 6, 6p₂−p₁−3p₀= 0 ⇒ p₀ = 1

3(6p₂−P−1) =−20.

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2