Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 1.4) Geradengleichungen
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Geradengleichung: Parameterform
~r = ~r1 + λ(~r2 − ~r1) mit λ ∈ R, λ ∈ ] − ∞, +∞[ (1) (~r − ~r1) = λ(~r2 − ~r1) ⇒ (~r − ~r1)k (~r2 − ~r1) (2)
r1 r2
P1 P
r2 _ r1 2
O
d r
P ϕ
ϕ a
Notwendige Anfangsinformation: Zwei beliebige Punkte P1 und P2 auf der Geraden.
Beachte: Gl. 1 ist eine Gerade in beliebig-dimensionalen R¨aumen.
~r1 = ~0 f¨ur Geraden durch den Ursprung.
Geradengleichung: Normalenform
~n · (~r − ~r1) = 0 ⇔ ~n ⊥ (~r − ~r1) (3)
~n · ~r = ~n ·~r1 | : |~n| (4) ˆ
n ·~r = d = ˆn · ~r1 (5) Hessesche Normalenform,
mit d = Abstand Ursprung-Gerade.
Der Ortsvektor jedes(!) Punkts auf der Geraden liefert dieselbe Projektion auf ~n, n¨amlich d.
r1 n
r1
O
r r _
d
Notwendige Anfangsinformation:
• ein Punkt P1 (auf der Geraden, sonst beliebig)
• der Normalenvektor ~n (L¨ange beliebig; bei Hesse-Normalenform L¨ange Eins) Vorsicht: Gl. 3 ist nur in 2D eine Gerade! (in 3D ist es eine Ebene, usw.)
Geradengleichung: Beispiel
Gerade durch die Punkte P1(1|2) und P2(−2|1):
• Aufstellen der Parameterform
~r = x
y
= −−→
OP1 + ˜λ−−→
P1P2 =
1 2
+ ˜λ
−2 − 1 1 − 2
= 1
2
+ ˜λ
−3
−1
(6)
=
1 2
+ (−1)˜λ 3
1
= 1
2
+ λ 3
1
(7)
• Umformung zur Normalenform: Elimination des Parameters λ:
1 Vektorgleichung = (hier) 2 skalare Gleichungen:b
x = 1 + 3λ (8)
y = 2 + λ ⇒ λ = y − 2 (9)
Gl. 9 in Gl. 8 einsetzen und nach y aufl¨osen:
x = 1 + 3y − 6 = 3y − 5 (10)
y = 13x + 53 (11)
Dies ist die “Schulform” (Hauptform) der Geradengleichung: y = mx + b
Geradengleichung: Beispiel
Umstellung zur Koordinatenform:
3y = x + 5 ⇒ −x + 3y = 5 (12)
Vergleich mit der Normalenform:
−1 3
| {z }
~n
· x
y
| {z }
~r
= 5
|{z}~n·~r1
(13)
Test der rechten Seite, mit −−→
OP1:
~n · ~r1 = ~n · −−→
OP1 =?
−1 3
· 1
2
= −1 + 6 = 5 X (14) (Muß auch mit −−→
OP2 stimmen:
~n · ~r2 = ~n · −−→
OP2 =?
−1 3
·
−2 1
= 2 + 3 = 5 X (15)
oder mit jedem anderen Ortsvektor eines Punkts auf der Geraden.)
Geradengleichung: Beispiel
• Hessesche Normalenform: L¨ange/Betrag des Normalenvektors
|~n| = |
−1 3
| = p
(−1)2 + 32 = √
10 (16)
Division von Gl. 13 durch √ 10:
√1 10
−1 3
· ~r = 1
√10 5 = 5
√2√ 5 =
r5
2 (17)
Abstand vom Ursprung ist p
5/2.
Geradengleichung: Beispiel
• Umgekehrter Weg: Normalenform (P1 und ~n) gegeben
~n · ~r =
−1 3
· x
y
= 5 =
−1 3
· 1
2
= ~n ·~r1 (18) Ermittle daraus die Parameterform. Dazu nur n¨otig: Beliebiger Vektor ~a senkrecht zu ~n:
~a ·~n = 0! =b
ax ay
·
−1 3
= 0 (19)
Ausf¨uhrung des Skalarprodukts liefert:
− ax + 3ay = 0 ⇒ ax = 3ay (20) W¨ahle beliebigen(!) Wert f¨ur ay, z.B. ay = 1, dann ist
ax = 3 ⇒ ~a = 3
1
(21)
~r = ~r1 + λ~a = −−→
OP1 + λ~a = 1
2
+ λ 3
1
(22) (Alternative: Bestimme aus Normalenform einen weiteren Punkt auf der Geraden)
Geradengleichung: Beispiel
• Punktproben: Liegt ein gegebener Punkt auf der Geraden oder nicht?
– parameterfreie Formen (Normalenform, Hauptform, Koordinatenform):
x-Komponente einsetzen; ausrechnen, ob sich richtige y-Komponente ergibt (oder umgekehrt)
– in der Parameterform: Test, ob selber(!) Faktor λ f¨ur alle Komponenten; z.B.
∗ Ursprung?
0 0
?
= 1
2
+ λ 3
1
(23) x-Komponente: 0 = 1 + 3λ ⇒ λ = −1/3
y-Komponente: 0 = 2 + λ ⇒ λ = −2
Widerspruch! Gerade geht nicht durch den Ursprung (Ursprungsabstand d 6= 0)
∗ Punkt (0|53):
0
5 3
?
= 1
2
+ λ 3
1
(24) Selber Wert λ = −1/3 f¨ur beide Komponenten, Punkt liegt auf Gerade
(das ist der y-Achsenabschnitt, s.o.)
