Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.1) Grundlagen der Integration

(1)

Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.1) Grundlagen der Integration

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ ^-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

(2)

Definition

Fl¨acheninhalt F zwischen Funk- tionsgraph und x-Achse, im Ab- schnitt x = a bis x = b

∆ x_i y

a b x

Obersumme

Untersumme

S =

n

X

i=1

∆x_i min(f(ζ_i)) , S =

n

X

i=1

∆x_i max(f(ζ_i)) (1)

n→∞lim S = lim

n→∞S =

b

Z

a

f(x)dx = F (2)

(3)

Definition

Fl¨acheninhalt F zwischen Funk- tionsgraph und x-Achse, im Ab- schnitt x = a bis x = b

∆ x_i y

a b x

Obersumme

Untersumme

b

Z

a

f(x) dx = lim

n→∞

n

X

i=1

∆x_i min(f(ζ_i)) = lim

∆x→0 n

X

i=1

∆x_i min(f(ζ_i)) (3)

⇒ das ist ein unbestimmter Ausdruck vom Typ “0 · ∞”

(4)

Generelle Integrationsstrategie

b

R

a

f(x)dx ist ein unbestimmter Ausdruck vom Typ “0 · ∞”

Strategie zur Behandlung von Integralen, ¨ahnlich zu der von Ableitungen:

• Liste von Grundintegralen

• einige wenige Integrationsregeln

Zun¨achst unklar, ob und wie gut das funktionieren wird. . .

(5)

Grundeigenschaften von Integralen

• das Resultat eines bestimmten Integrals F =

b

R

a

f(x) dx ist eine Zahl, keine Funktion von x (wie bei unbestimmten Integralen, s.u.)

• ⇒ die Integrationsvariable (x in

b

R

a

f(x)dx) ist ein Platzhalter

(wie der Laufindex einer Summe); der Integralwert h¨angt insbesondere nicht von der Benennung der Integrationsvariable ab.

(6)

Grundeigenschaften von Integralen Integralwerte sind vorzeichenbehaftet:

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000

1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000

1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

a b

+ _

+

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000

1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000

1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

a b

_

+

_

(der Fl¨acheninhalt ist eigentlich der Betrag des Integralwerts)

(7)

Daraus folgt unmittelbar der Vorzeichenwechsel bei Vertauschung von Unter- und Obergrenze:

b

Z

a

f(x) dx = −

a

Z

b

f(x)dx (4)

Im Spezialfall a = b ergibt sich daraus (oder aus der Anschauung):

a

Z

a

f(x)dx = 0 (5)

(8)

Aus der anschaulichen Additivität von Flächeninhalten folgt die Additivität von bestimmten Integralen bezüglich der Integrationsgrenzen, oder (in umgekehrter Richtung gelesen) die Zerle- gung eines Integrals in Teilintegrale:

b

Z

a

f(x)dx +

c

Z

b

f(x)dx =

c

Z

a

f(x) dx (6)

a b c

(9)

Integration ¨uber Sprungstellen des Integranden hinweg sollte vermieden werden, aber mit einer Aufteilung des Integrals geht das:

a b c

d→b−lim

d

Z

a

f(x)dx + lim

e→b+

c

Z

e

f(x)dx (7)

(10)

Aus der Unter-/Obersummendefinition wird klar,

• daß konstante Faktoren aus Integralen ausgeklammert werden k¨onnen,

• und daß das Integral einer Summe gleich der Summe der Integrale der Summanden ist (mit gleichen Integralgrenzen in allen diesen Integralen!).

Zusammengefaßt gilt also:

b

Z

a

(αf(x) ± βg(x))dx = α

b

Z

a

f(x)dx ± β

b

Z

a

g(x)dx α, β ∈ R (8)

(11)

Ungerade Integranden

F¨ur jede ungerade Funktion f(x) gilt bei Integration in einem zum Ursprung symmetrischen Intervall [−a, +a] (a ∈ R, inkl. a = ∞):

+a

Z

−a

f(x)dx =

0

Z

−a

f(x)dx +

+a

Z

0

f(x)dx =^∗ −

+a

Z

0

f(x)dx +

+a

Z

0

f(x)dx = −A + A = 0 (9)

Im Schritt (∗) wurde dabei der erste Summand wie folgt umgeschrieben:

0

Z

−a

f(x)dx = −

−a

Z

0

f(x)dx =

−a

Z

0

(−f(x))dx Grenzenumkehr (10)

= −

a

Z

0

(−f(−x))˜ dx˜ Substitution − x = ˜x,−dx = dx, x˜ = −a= ˜b x = a (11)

= −

a

Z

f(˜x)dx˜ = −

a

Z

f(x)dx ungerade, Int.var.umbenennung (12)

(12)

Ungerade Integranden

F¨ur jede ungerade Funktion f(x) gilt bei Integration in einem zum Ursprung symmetrischen Intervall [−a, +a] (inkl. a = ∞):

+a

Z

−a

f(x)dx = 0 (13)

Anwendungen:

• Integralberechnung unn¨otig, Resultat Null steht schon fest

• Symmetrieargumente bei Auswahlregeln in der Molek¨ulspektroskopie

(13)

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ist y = f(x) in [a, b] stetig, so existiert ein ζ ∈ [a, b], f¨ur das gilt

b

Z

a

f(x)dx = f(ζ) (b − a) (14)

f(ζ) ist der Mittelwert von y = f(x) in diesem Intervall.

Ersatz des Integrals durch eine Rechtecksfl¨ache, wenn ζ bekannt ist. Anschaulich klar:

00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000

11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111

11111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

0000000 1111111

f( )ζ