Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.3) Grundintegrale
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Folgerung aus dem 1. Hauptsatz
Grundintegrale aus Umkehrung der Grundableitungen d
dx
xα+1
α + 1 = (α + 1) xα
α + 1 = xα ⇔
Z
xαdx = xα+1
α + 1 + C (1) d
dx sin(x) = cos(x) ⇔
Z
cos(x)dx = sin(x) + C (2) d
dx arcsin(x) = 1
√1 − x2 ⇔
Z dx
√1 − x2 = arcsin(x) + C (3) d
dx arctan(x) = 1
1 + x2 ⇔
Z dx
1 + x2 = arctan(x) + C (4) d
dx ex = ex ⇔
Z
ex dx = ex + C (5) d
dx ax = ax ln(a) ⇔
Z
ax dx = ax
ln(a) + C (6)
d
dx(x ln(x) − x) = ln(x) + x 1
x − 1 = ln(x) ⇔
Z
ln(x)dx = xln(x) − x + C (7)
Integral von 1/x
Z
xαdx = xα+1
α + 1 + C f¨ur α ∈ R , α 6= −1 (8) Spezialfall α = −1 : d
dx ln|x| = 1
x ⇔
Z 1
x dx = ln|x| + C (9) Uberpr¨¨ ufung durch Ableitung:
f¨ur x > 0 : d
dx ln|x| = d
dx ln(x) = 1
x ⇔
Z 1
x dx = ln(x) + C (10) f¨ur x < 0 : d
dx ln|x| = d
dx ln(−x) = d
dx ln(u) = dln(u) du
du
dx = 1
u(−1) = −1
−x = 1
x (11) mit der Substitution u = −x.
Also gilt f¨ur alle x > 0 und x < 0 (aber nicht x = 0):
d
dx ln|x| = 1
x ⇔
Z 1
x dx = ln |x| + C (12)
Integral von 1/x
1
x ist ungerade, ln|x| ist gerade; beide Funktionen definiert f¨ur alle x ∈ R außer x = 0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
x > 0 :
x
Z 1
t dt = ln|x| = ln(x) ; x < 0 :
x
Z 1
t dt = ln|x| = ln(−x) (13)
Funktionenklassen bei Integration
Auch bei einfachen Funktionen kann Integration auf transzendente Stammfunktionen f¨uhren.
In g¨unstigen F¨allen sind sie bekannt, z.B.:
Z dx
√1 − x2 = arcsin(x) + C (14)
Z dx
1 + x2 = arctan(x) + C (15)
Z 1
x dx = ln|x| + C (16)
In ung¨unstigen F¨allen ist die Existenz der Stammfunktion per 1.Hauptsatz zwar garantiert, aber die Stammfunktion ist noch “neu”/unbekannt (siehe Abschnitt 3.8 “spezielle Funktionen”).
