Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.4) Integration durch Substitution
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Integration durch Substitution als Umkehrung der Kettenregel Die Kettenregel der Differentiation (mit Substitution f(x) = f(u(x)))
df
dx = df du
du dx
Z
dx (1)
liefert nach Integration:
Z df
dx dx = f(x) =
Z df du
du
dx dx =
Z df
du du (2)
Probleme:
• in Gl. 2 keine klare Vereinfachung von links nach rechts;
• Integral in u nur l¨osbar, wenn darin kein x mehr vorkommt!
Integration durch Substitution ben¨otigt Hilfe: Beispiel 1
Mit der Substitution
u = sin(x) ⇒ du
dx = cos(x) ⇒ du = cos(x)dx , dx = du
cos(x) (3) k¨onnen nicht alle, sondern nur einige sich anbietende Integrale gel¨ost werden:
Z
sin2(x)dx = Z
u2 dx = Z
u2 1
cos(x) du = ?? (4)
Z
sin2(x) cos(x) dx = Z
u2 cos(x)
cos(x) du = Z
u2du = 1
3 u3 + C = 1
3 sin3(x) + C (5) Z sin2(x)
cos(x) dx =
Z u2
cos(x) dx =
Z u2
cos2(x) du = ?? (6)
Notwendiges Muster: In der Integrandenfunktion kommen als Faktoren vor
• f(u(x)) (hier: u = sin(x) in der Funktion u2 = sin2(x))
• und gleichzeitig auch dudx (hier: cos(x))
dann kann sich ein einfacheres Integral nur in u ergeben.
Integration durch Substitution: Beispiel 2
Z
(x2 + 1)3x dx = (Subst.: u = x2 , du = 2x dx) (7)
= 1 2
Z
(u + 1)3 du = 1 2
Z
(u3 + 3u2 + 3u + 1) du (8)
= 1 2
1
4u4 + u3 + 3
2u2 + u
+ C (9)
= 1
8 x8 + 4x6 + 6x4 + 4x2
+ C (10)
Alternativer Weg:
Z
(x2 + 1)3x dx = (Subst.: t = x2 + 1 , dt = 2x dx) (11)
= 1 2
Z
t3 dt = 1
8 t4 + ˜C (12)
= 1
8 (x8 + 4x6 + 6x4 + 4x2 + 1) + ˜C (13) Mit C = ˜C + 18 und der Erkenntnis, daß eindeutige Werte von Integrationskonstanten bei unbestimmten Integralen grunds¨atzlich nicht ermittelbar sind, ist das dasselbe Resultat.
Integration durch Substitution: Beispiel 3
∞
Z
0
x e−ax2dx = (z = −ax2, dz = −2ax dx, x = 0 → z = 0, x = ∞ → z = −∞) (14)
= − 1 2a
−∞
Z
0
ez dz = − 1
2a [ez]z=−∞z=0 = − 1
2a(0 − 1) = 1
2a (15)
∞
Z
0
x e−ax2dx = (z = −ax2, dz = −2ax dx, keine Grenzensubstitution) (16)
= − 1 2a
z2
Z
z1
ez dz = − 1
2a [ez]zz2
1 = − 1 2a
h
e−ax2ix=∞
x=0 = − 1
2a(0 − 1) = 1
2a (17)
∞
Z
0
x e−ax2dx = (u = e−ax2, du = −2axe−ax2 dx, x = 0 → u = 1, x = ∞ → u = 0) (18)
= − 1 2a
0
Z
1
du = 1
2a[u]u=1u=0 = 1
2a(1 − 0) = 1
2a (19)
Integration durch Substitution: Beispiel 4
1/2
Z
0
√ dx
1 − x2 = π
6 (20)
Dies ist ein Grundintegral, das aber mit der nicht-offensichtlichen Substitution x = sin(u) mit unseren Mitteln auch direkt berechnet werden kann, s. Skript.
