Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.7) Uneigentliche Integrale

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Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.7) Uneigentliche Integrale

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ ^-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

(2)

Uneigentliche Integrale

Integrale waren definiert als “Fl¨ache unter einer Funktionsgraph-Kurve” bzw. als Grenzwert vom Typ “0 · ∞” von Unter- bzw. Obersummen:

I =

b

Z

a

f(x) dx = lim

n→∞

n

X

i=1

∆x_i min(f(ζ_i)) = lim

∆x→0 n

X

i=1

∆x_i min(f(ζ_i)) (1) Ob dieser Grenzwert endlich ist oder nicht, wird fraglich,

wenn einer oder mehrere der folgenden Spezialf¨alle gegeben sind:

• |a| = ∞

• |b| = ∞

• |f(x)| = ∞ (Polstelle) an einen oder mehreren x-Werten f¨ur a ≤ x ≤ b.

Dann heißt das Integral I “uneigentlich”. Ob gilt

• |I| < ∞ (Konvergenz), oder

(3)

Integrale mit unbeschr¨anktem Integrationsintervall

Z ∞

a

f(x)dx := lim

b→∞

Z b a

f(x)dx = lim

b→∞(F(b) − F(a)) (2)

Z b

−∞

f(x)dx := lim

a→−∞

Z b a

f(x)dx = lim

a→−∞(F(b) − F(a)) (3)

oder beides gleichzeitig.

Inh¨arent unproblematisch, weil kritische Integralgrenze(n) (a → ∞ und/oder b → ∞) zwangs- l¨aufig in der Berechnung (s.o. Gln. 2,3 rechts) explizit sichtbar sind

(im Gegensatz zu Polstellen zwischen a und b, s.u.).

(4)

Integrale mit unbeschr¨anktem Integrationsintervall: Beispiel

∞

Z

1

dx

x^α ist

konvergent f¨ur α > 1

divergent f¨ur 0 < α ≤ 1 (4)

Dies l¨aßt sich folgendermaßen zeigen:

F¨ur α = 1 gilt:

b→∞lim

b

Z

1

dx

x = lim

b→∞

ln|x|b

1 = lim

b→∞(ln|b|) = ∞ (5) F¨ur α 6= 1 gilt:

b→∞lim

b

Z

1

dx

x^α = lim

b→∞

x^1−α 1 − α

b 1

= 1

1 − α lim

b→∞ b^1−α − 1

=

₋₁

1−α f¨ur α > 1

∞ f¨ur 0 < α < 1 (6)

(5)

Integrale mit unbeschr¨anktem Integranden: Beispiel

1

Z

0

dx

x^α ist

divergent f¨ur α ≥ 1

konvergent f¨ur 0 < α < 1 (7) Dies l¨aßt sich folgendermaßen zeigen:

F¨ur α = 1 gilt:

→0+lim

1

Z

dx

x = lim

→0+

ln|x|¹

= lim

→0+(−ln||) = −(−∞) = ∞ (8) F¨ur α 6= 1 gilt:

→0+lim

1

Z

dx

x^α = lim

→0+

x^1−α 1 − α

1

= 1

1 − α lim

→0+ 1 − ^1−α

=

∞ f¨ur α > 1

1

1−α f¨ur 0 < α < 1 (9)

(6)

Gesamtsicht beider Beispiele F¨ur Integranden des Typs 1/x^α

bildet 1/x (also α = 1) die Grenze zwischen konvergent und divergent:

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000

11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1/x 1/(x*x) 1/sqrt(x)

divergent

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1/x 1/(x*x) 1/sqrt(x)

konvergent divergent

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000 000000000000000

111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1/x 1/(x*x) 1/sqrt(x)

divergent konvergent

Das erlaubt weitere Schl¨usse: Weil z.B. exp(−αx) schneller abf¨allt als die Funktion 1/x^α, ist u.a. dieses uneigentliche Integral konvergent:

(7)

Probleme bei Polstellen des Integranden: Beispiel

1

Z

−1

dx x² =

− 1 x

1

−1

= − 1

x 1

−1

= −(1 − (−1)) = −(1 + 1) = −2 ?? (11) Dieses Resultat ist sicher falsch, weil der Fl¨acheninhalt offensichtlich positiv sein muß

(Integration von links nach rechts, alle Integrandenfunktionswerte positiv):

0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000

1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−3 −2 −1 0 1 2 3

1/(x*x)

Gr¨unde des Fehlers:

• abstrakt: Die Polstelle ist eine Unstetigkeitsstelle, aber Stetigkeit ist Voraussetzung des ersten Hauptsatzes, der Voraussetzung des hier verwendeten zweiten Hauptsatzes ist.

• praktisch: Die Polstelle liegt nicht an einer Integralgrenze, sonst w¨urde sie auffallen (s.o.)

(8)

Probleme bei Polstellen des Integranden: verbessertes Beispiel Abhilfe: Aufspaltung des Integrals an der Polstelle des Integranden:

1

Z

−1

dx

x² = lim

a→0−

a

Z

−1

dx

x² + lim

b→0+

1

Z

b

dx

x² (12)

= − lim

a→0−

1 x

a

−1

− lim

b→0+

1 x

1

b

(13)

= −

a→0−lim 1

a + 1

−

1 − lim

b→0+

1 b

(14)

= −(−∞ + 1) − (1 − ∞) (15)

= 2∞ − 2 (16)

= ∞ (17)

Bei der Integration ohne Aufspaltung des Integrals fehlte dieser Term 2∞.