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3.4.5 Uneigentliche Integrale

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Academic year: 2021

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3.4.5 Uneigentliche Integrale

Uneigentliches Integral

Singularit¨at bei b (b = ∞ oder unbeschr¨ankter Integrand) Z

b

a

f = lim

c→b−

Z

c a

f Singularit¨at an beiden Grenzen:

Grenzwert muss unabh¨angig von der Wahl der Folgen c → a+, d → b − sein hinreichend: absolute Intergrierbarkeit, d. h.

Z

d

c

| f (x) | ≤ const f¨ur alle Teilintervalle [c, d] ⊂ (a, b)

Vergleichskriterium f¨ ur uneigentliche Integrale

g absolut integrierbar, | f(x) | ≤ c | g(x) | , a < x < b (Majorante)

= ⇒ absolute Integrierbarkeit von f auf [a, b]

Gamma-Funktion

Γ(x) = Z

0

t

x1

e

t

dt, x ∈ (0, ∞ ) Funktionalgleichung

Γ(x + 1) = xΓ(x) insbesondere Γ(n + 1) = n!

einfache Pole f¨ur x = 0, − 1, . . .

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