Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 1.3) Rechnen mit Vektoren 2

1.3) Rechnen mit Vektoren 2

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ ^-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

Einschub: Determinanten

Determinanten 2. Ordnung:

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

= a₁₁a₂₂ − a₂₁a₁₂ (1)

Determinanten n. Ordnung: Laplace-Entwicklungssatz

a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n

... ... ... ...

a_n1 a_n2 · · · a_nn

= X

k

a_mk(−1)^m+kA_mk = X

j

a_jm(−1)^j+mA_jm (2)

mit A_ij = Unterdeterminante, erhalten durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte.

(Achtung: Regel von Sarrus funktioniert nur im 3x3-Fall.)

1

3x3-Beispiel, Entwicklung nach der 1.Zeile:

a b c d e f g h i

= a

e f h i

− b

d f g i

+ c

d e g h

= a(ei − hf) − b(di − gf) + c(dh − ge) (3)

Einschub: Determinanten

3x3-Beispiel, Entwicklung nach der 1.Zeile:

a b c d e f g h i

= a

e f h i

− b

d f g i

+ c

d e g h

= a(ei − hf) − b(di − gf) + c(dh − ge) (3)

2

3x3-Beispiel, Entwicklung nach der 1.Zeile:

a b c d e f g h i

= a

e f h i

− b

d f g i

+ c

d e g h

= a(ei − hf) − b(di − gf) + c(dh − ge) (3)

Einschub: Determinanten

3x3-Beispiel, Entwicklung nach der 1.Zeile:

a b c d e f g h i

= a

e f h i

− b

d f g i

+ c

d e g h

= a(ei − hf) − b(di − gf) + c(dh − ge) (3)

Vorzeichen:

+ − +

− + − + − +

,

+ − + −

− + − + + − + −

− + − +

,

+ − + − +

− + − + − + − + − +

− + − + − + − + − +

, . . . (4)

2

~r₁ × ~r₂ = Fnˆ = f~ (5) mit F = |~r₁||~r₂|sinϕ (6) sowie |ˆn| = 1 und ˆn ⊥ ~r₁ ∧ nˆ ⊥ ~r₂ (7)

~r₁, ~r₂, ~f bilden Rechtssystem (8)

r1

n^

f

r1

| | sinϕ r₂

ϕ F

Berechnung aus den kartesischen Komponenten (Herleitung s. Skript):

~r₁ × ~r₂ =



 x₁ y₁ z₁



 ×



 x₂ y₂ z₂



 =





y₁z₂ − y₂z₁ x₂z₁ − x₁z₂ x₁y₂ − x₂y₁



 =

ˆı ˆ kˆ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂

(9)

Kreuzprodukt/Vektorprodukt

~r₁ × ~r₂ = Fnˆ = f~ (5) mit F = |~r₁||~r₂|sinϕ (6) sowie |ˆn| = 1 und ˆn ⊥ ~r₁ ∧ nˆ ⊥ ~r₂ (7)

~r₁, ~r₂, ~f bilden Rechtssystem (8)

r₁ r₂

r₁ r₂

Berechnung aus den kartesischen Komponenten (Herleitung s. Skript):

~r₁ × ~r₂ =



 x₁ y₁ z₁



 ×



 x₂ y₂ z₂



 =





y₁z₂ − y₂z₁ x₂z₁ − x₁z₂ x₁y₂ − x₂y₁



 =

ˆı ˆ kˆ x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂

(9)

Achtung antikommutativ: ~r₁ × ~r₂ = −(~r₂ × ~r₁)

3

Anwendungen:

• Definition wichtiger physikalischer Gr¨oßen (Drehmoment, Lorentzkraft,. . . )

• Erzeugung eines neuen Vektors senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren

• Berechnung von Parallelogrammfl¨achen

Beispiel: Fl¨ache F des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms

~r₁ × ~r₂ =



 1 1 1



 ×



 1

−1 1



 =

ˆı ˆ kˆ 1 1 1 1 −1 1

= ˆı(1 − (−1)) − (1ˆ − 1) + ˆk(−1 − 1) =



 2 0

−2



 (10)

 2 

√

Spatprodukt

~r₁ · (~r₂ × ~r₃) = ~r₁ · (F n)ˆ (12)

= F |~r₁| |n|ˆ cosα = F h (13)

=

x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ x₃ y₃ z₃

(14) ^{n^}

r1

r₂

r3 F

h

α

Anwendungen:

• Volumenberechnungen:

V_Spat = |~r₁ · (~r₂ × ~r₃)| , V_Tetraeder = 1

6 V_Spat (15)

• Abstandsformeln (s.u.)

• Schnelltest auf Komplanarit¨at von 3 Vektoren

• Vorzeichen¨anderung des Spatprodukts bei

– Punkt auf einer oder anderen Seite einer Ebene – Chiralit¨ats¨anderung

5