Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.6) Differentiation von Funktionen einer Variabler
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Ableitungsregeln
• Summenregel
d
dx(f(x) ± g(x)) = df(x)
dx ± dg(x)
dx (1)
• Produktregel
d
dx(f(x) · g(x)) = df(x)
dx · g(x) + f(x) · dg(x)
dx (2)
• Quotientenregel
d dx
f(x)
g(x)
=
df(x)
dx · g(x) − f(x) · dg(x) dx
g2(x) (3)
• Kettenregel
d
dxf[u(x)] = df(u)
du · du(x)
dx (4)
• Ableitung der Umkehrfunktion (mit y = f(x) und Umkehrfunktion x = g(y)):
d
dxf(x) = 1
d
dyg(y) (5)
(alle Regeln werden im Skript hergeleitet, Kap.4.2.2)
Spezialfall der Produktregel f¨ur einen konstanten Faktor c ∈ R:
d
dx(c · f(x)) = dc
dx · f(x) + c · df(x)
dx (6)
= 0 · f(x) + c · df(x)
dx (7)
= c · df(x)
dx (8)
⇒ konstante Faktoren bleiben bei Ableitung als solche erhalten.
Quotientenregel
d dx
f(x)
g(x)
= d dx
f(x) · 1 g(x)
(9)
= df(x) dx
1
g(x) + f(x) d
dxg−1(x) (10)
= df(x) dx
1
g(x) + f(x)
d
dgg−1
dg(x)
dx (∗) (11)
= df(x) dx
1
g(x) − f(x) g(x)2
dg(x)
dx (12)
= df(x) dx
g(x)
g(x)2 − f(x) g(x)2
dg(x)
dx (13)
= 1
g(x)2
df(x)
dx g(x) − f(x)dg(x) dx
(14)
(∗) y = 1
x = x−1 ⇒ dy
dx = −x−2 = − 1
x2 (15)
Ableitung der Umkehrfunktion
mit y = f(x) und Umkehrfunktion x = g(y): d
dxf(x) = 1 d
dyg(y)
bzw. dy
dx = 1 dx dy
y0 x0
y0
x0 P0
P’0 Steigung m Tangente mit
Tangente mit Steigung 1/m Spiegelung
y=x
1
m
1
m
1/m 1
y=f(x)
x=g(y)
Ableitung elementarer Funktionen
Komplette Liste von Grundableitungen (inkl. Herleitungen daf¨ur): siehe Skript! (Kap.4.2.3)
y = xα , y0 = αxα−1 , α ∈ R (16)
Spezialf¨alle:
y = xn , y0 = nxn−1 mit n ∈ N (17) y = x−n , y0 = −nx−n−1 mit n ∈ N (18) y = xmn , y0 = mnxmn−1 mit m, n ∈ Z (19) y = x = x1 , y0 = 1 · x0 = 1 (20)
y = c = cx0 , y0 = 0 mit c ∈ R
(21) Mit Gl. 16 und den Ableitungsregeln sind alle algebraischen Funktionen ableitbar.
Ableitungsbeispiel 1
y = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1 (22) Ableitung per Summenregel:
y0 = d
dx(x4 + 2x2 + 1) = dx4
dx + 2dx2
dx + d1
dx (23)
= 4x3 + 2(2x) + 0 = 4x3 + 4x (24) Alternativ: Ableitung per Kettenregel, mit Substitution u = x2 + 1:
y0 = dy
dx = d
dx(x2 + 1)2 = d
dxu2 = du2
du · du
dx (25)
= du2
du · d
dx(x2 + 1) (26)
= 2u · 2x (27)
= 2(x2 + 1) · 2x = 4x(x2 + 1) = 4x3 + 4x (28)
Ableitungsbeispiel 2
y = √3
x = x1/3 , y0 = ? (29)
Die Umkehrfunktion von y = √3
x = x1/3 ist x = y3, und dx
dy = dy3
dy = 3y2 (30)
Damit ergibt sich:
y0 = dy
dx = 1
dx dy
= 1
3y2 = 1
3y−2 = 1 3
x1/3−2
= 1
3x−2/3 (31)
was nat¨urlich ¨ubereinstimmt mit dem Resultat des anderen m¨oglichen Wegs:
y0 = dy
dx = dx1/3
dx = 1
3x13−1 = 1
3x−2/3 (32)
Ableitung elementarer Funktionen
Einige Ableitungen transzendenter Funktionen:
(Komplette Liste von Grundableitungen (inkl. Herleitungen daf¨ur): siehe Skript! (Kap.4.2.3))
y = sin(x) , y0 = cos(x) (33)
y = cos(x) , y0 = − sin(x) (34)
y = ex , y0 = ex (35)
y = ln(x) , y0 = 1
x (36)
y = arctan(x) , y0 = 1
1 + x2 (37)
y = artanh(x) , y0 = 1
1 − x2 (38)
Ableitungsbeispiel 3
y = arsinh(√
x) = arsinh(u) , y0 = ? (39)
y0 = dy
dx = dy du
du
dx = 1
√u2 + 1 1 2√
x = 1
2√
x + 1√
x (40)
Alternativer Weg, ¨uber den Zusammenhang arsinh(x) = ln(x + √
x2 + 1) (s.Skript), mit den Substitutionen u = √
x und v = u + √
u2 + 1:
y = arsinh(√
x) = arsinh(u) = ln(u + √
u2 + 1) = ln(v) (41) y0 = dy
dx = dy dv
dv du
du
dx (42)
= 1 v
1 + 2u 2√
u2 + 1
1
2√
x (43)
= 1
u + √
u2 + 1
√u2 + 1 + u
√u2 + 1
1
2u (44)
= 1
2√
x + 1√
x (45)
