Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.7) Differentiation: weitere Aspekte und Beispiele

Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.7) Differentiation: weitere Aspekte und Beispiele

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ ^-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

Symmetrieverhalten bei Ableitung Es gilt allgemein (Herleitung s. Skript):

Funktion Ableitung gerade ungerade ungerade gerade mit zahlreichen Beispielen:

y = x² (gerade) , y⁰ = 2x (ungerade) (1) y = x³ (ungerade) , y⁰ = 3x² (gerade) (2)

y = 1

x² (gerade) , y⁰ = −2

x³ (ungerade) (3)

y = tan(x) (ungerade) , y⁰ = 1

cos²(x) (gerade) (4)

y = sinh(x) (ungerade) , y⁰ = cosh(x) (gerade) (5) y = cosh(x) (gerade) , y⁰ = sinh(x) (ungerade) (6)

...

...

Funktionenklassenzugeh¨origkeit bei Ableitung

Bei Ableitungsbildung bleibt man i.d.R. entweder in derselben Funktionenklasse y = x^3/4 (irrational) , y⁰ = 3

4x^1/4 (irrational) (7)

y = sin(x) (transzendent) , y⁰ = cos(x) (transzendent) (8) ...

oder wechselt in eine Funktionenklasse, die eine oder mehrere Stufen einfacher ist:

y = arccos(x) (transzendent) , y⁰ = −1

√1 − x² (irrational) (9) y = arctan(x) (transzendent) , y⁰ = 1

1 + x² (gebrochen rational) (10) y = ln(x) (transzendent) , y⁰ = 1

x (gebrochen rational) (11) ...

Bei der Integration (Umkehrung der Differentiation) ist es umgekehrt.

Ableitung allgemeiner Potenz-/Logarithmusfunktionen

y = e^x , y⁰ = e^x (12)

Statt e eine andere Basis a ∈ R:

y = a^x =

e^ln(a)x

= e^xln(a) (13)

y⁰ = dy

dx = d

dxa^x = d

dxe^xln(a) = d

dxe^u mit u = xln(a) (14)

= de^u du

du

dx = de^u du

d(x ln(a))

dx (15)

= e^u ln(a) = e^xln(a) ln(a) (16)

= a^x ln(a) (17)

also

y = a^x , y⁰ = a^x ln(a) (18)

Ableitung allgemeiner Potenz-/Logarithmusfunktionen y = ln(x) , y⁰ = 1

x (19)

Statt e eine andere Basis a ∈ R:

y = log_a(x) = log_a

e^ln(x)

= ln(x) log_a(e) = ln(x)

ln(a) (20)

y⁰ = dy

dx = d

dx(ln(x) log_a(e)) = log_a(e) d

dx ln(x) (21)

= 1

x log_a(e) = 1

x ln(a) (22)

also

y = log_a(x) , y⁰ = 1

x log_a(e) = 1

x ln(a) (23)

Ableitung von x^x

y = x^x , y⁰ = ? (24)

Weder _dx^d x^a = ax^a−1 noch _dx^d a^x = a^x ln(a) passen! Aber selber Trick nutzbar:

y = x^x =

e^ln(x)x

= e^xln(x) = e^u (25)

y⁰ = dy

dx = de^u du

du

dx = de^u du

d(xln(x))

dx (26)

= e^u

x 1

x + ln(x)

(27)

= x^x (1 + ln(x)) (28)

also

y = x^x , y⁰ = x^x (1 + ln(x)) (29)

Weitere Ableitungen der Art x^x

y = (x^x)^x , y⁰ = (x^x)^xx (2xln(x) + 1) (30) y = x^(xx) , y⁰ = x^(xx)x^x(ln²(x) + ln(x) + _x¹) (31) y = (sin(x))^x , y⁰ = (sin(x))^x(ln(sin(x)) + xcot(x)) (32) y = arsinh(x

√x

) , y⁰ = x

√x

px(x^2√x + 1) (¹₂ ln(x) + 1) (33)

H¨ohere Ableitungen, y-recycling

y = e^x2 (34)

y⁰ = e^x22x = y 2x (35)

y⁰⁰ = 2xe^x22x + 2e^x2 = y⁰2x + 2y = 2(xy⁰ + y) (36)

= 2e^x2(2x² + 1) (37)

y⁰⁰⁰ = 4xe^x2(2x² + 1) + 2e^x2(4x) = 2(y⁰ + xy⁰⁰ + y⁰) = 2(2y⁰ + xy⁰⁰) (38)

= 4xe^x2(2x² + 3) (39)

y⁽⁴⁾ = = 2(2y⁰⁰ + xy⁰⁰⁰ + y⁰⁰) = 2(3y⁰⁰ + xy⁰⁰⁰) (40)

y⁽⁵⁾ = = 2(4y⁰⁰⁰ + xy⁽⁴⁾) (41)

...

...